Góc nhị diện là hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung bờ là một đường thẳng d; số đo của nó bằng số đo góc phẳng nhị diện, tức góc tạo bởi hai tia cùng vuông góc với d tại một điểm và lần lượt nằm trong hai nửa mặt phẳng. Số đo góc nhị diện nằm trong khoảng từ 0° đến 180°. Đây là nội dung Toán 11 chương trình mới; bài viết hướng dẫn cách xác định góc phẳng nhị diện, các công thức tính và 4 ví dụ có lời giải.
Góc nhị diện là gì?
Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) có chung bờ là đường thẳng d; d gọi là cạnh, còn (P), (Q) là hai mặt của góc nhị diện. Góc nhị diện được ký hiệu là [P, d, Q], hoặc [M, d, N] với M thuộc (P), N thuộc (Q) và M, N không nằm trên d.
Một ví dụ quen thuộc là cánh cửa mở ra so với bức tường: bản lề là cạnh d, mặt tường và mặt cánh cửa là hai mặt của góc nhị diện. Mở cửa càng rộng, số đo góc nhị diện càng lớn, tối đa có thể tới 180° khi cánh cửa và bức tường thẳng hàng.
Góc phẳng nhị diện là gì và xác định như thế nào?
Góc phẳng nhị diện là góc xOy, trong đó O là một điểm trên cạnh d, tia Ox nằm trong (P) và tia Oy nằm trong (Q), cả hai cùng vuông góc với d. Số đo góc nhị diện bằng số đo góc phẳng nhị diện và không phụ thuộc vào vị trí điểm O trên d.
Các bước xác định góc phẳng nhị diện [P, d, Q]:
- Xác định cạnh d (giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai mặt).
- Tìm một điểm A thuộc (P) mà hình chiếu vuông góc của A xuống (Q) là điểm H dễ xác định (thường do có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy).
- Từ H kẻ HO ⊥ d (O ∈ d). Theo định lý ba đường vuông góc, AO ⊥ d.
- Góc AOH (hoặc góc bù của nó, tùy hai mặt nằm cùng hay khác phía) là góc phẳng nhị diện; tính bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHO.
Góc nhị diện khác góc giữa hai mặt phẳng thế nào?
Góc nhị diện có số đo từ 0° đến 180° và phân biệt hai mặt cụ thể, còn góc giữa hai mặt phẳng chỉ lấy giá trị từ 0° đến 90°. Nếu góc nhị diện có số đo φ, thì góc giữa hai mặt phẳng chứa nó bằng φ khi φ ≤ 90°, và bằng 180° − φ khi φ > 90°.
| Tiêu chí | Góc nhị diện | Góc giữa hai mặt phẳng |
|---|---|---|
| Đối tượng | Hai nửa mặt phẳng chung bờ | Hai mặt phẳng |
| Khoảng giá trị | 0° đến 180° | 0° đến 90° |
| Ký hiệu | [P, d, Q] | ((P), (Q)) |
| Ứng dụng | Góc giữa hai mặt bên của khối đa diện | Độ nghiêng giữa hai mặt phẳng |
Công thức tính góc nhị diện thường dùng
Ba cách tính hay dùng là: tính trực tiếp góc phẳng nhị diện bằng tam giác vuông, dùng công thức diện tích hình chiếu S’ = S · cos φ, và dùng vectơ pháp tuyến trong hệ tọa độ Oxyz.
- Tam giác vuông: với góc phẳng AOH vuông tại H, tan AOH = AH / OH.
- Diện tích hình chiếu: nếu đa giác có diện tích S nằm trong (P) và hình chiếu của nó lên (Q) có diện tích S’, thì cos φ = S’ / S với φ là góc giữa (P) và (Q). Ý tưởng hình chiếu vuông góc này cũng là nền tảng của khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
- Tọa độ Oxyz: với vectơ pháp tuyến n₁, n₂ của hai mặt phẳng, cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|) cho góc giữa hai mặt phẳng; sau đó căn cứ hình vẽ để quyết định góc nhị diện là φ hay 180° − φ.
Muốn ôn thêm về hình chóp và lăng trụ, xem các bài thể tích hình chóp và hình lăng trụ đứng.
Ví dụ tính góc nhị diện có lời giải
Đề chung (Ví dụ 1–3): Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a.
Ví dụ 1: Tính số đo góc nhị diện [S, CD, A].
- CD ⊥ AD (đáy là hình vuông) và CD ⊥ SA (vì SA ⊥ đáy) nên CD ⊥ (SAD), suy ra CD ⊥ SD.
- Góc phẳng nhị diện là góc SDA.
- Trong tam giác SAD vuông tại A: tan SDA = SA / AD = a / a = 1, nên góc SDA = 45°.
Ví dụ 2: Tính số đo góc nhị diện [S, BD, A].
- Gọi O là tâm hình vuông: AO ⊥ BD; BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAO), suy ra SO ⊥ BD.
- Góc phẳng nhị diện là góc SOA, với AO = a√2 / 2.
- tan SOA = SA / AO = a / (a√2/2) = √2, nên góc SOA ≈ 54,74°.
Ví dụ 3: Tính số đo góc nhị diện [B, SA, D].
- SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB và SA ⊥ AD.
- Góc phẳng nhị diện là góc BAD = 90°.
Ví dụ 4: Tính số đo góc nhị diện giữa hai mặt của tứ diện đều ABCD cạnh a (xem thêm tính chất và công thức tứ diện đều), ví dụ [A, BC, D].
- Gọi M là trung điểm BC: AM ⊥ BC và DM ⊥ BC (đường trung tuyến của tam giác đều), nên góc phẳng nhị diện là góc AMD.
- AM = DM = a√3 / 2, AD = a.
- Theo định lý côsin: cos AMD = (AM² + DM² − AD²) / (2 · AM · DM) = (3a²/4 + 3a²/4 − a²) / (2 · 3a²/4) = 1/3.
- Vậy góc AMD ≈ 70,53°.
Lỗi thường gặp khi xác định góc nhị diện
Lỗi phổ biến nhất là chọn hai đường thẳng không cùng vuông góc với cạnh d tại một điểm, nhầm góc nhị diện với góc giữa hai mặt phẳng, và quên trường hợp góc tù.
- Hai tia phải cùng xuất phát từ một điểm trên cạnh d và cùng vuông góc với d.
- Không tự động lấy góc nhọn: với góc nhị diện, kết quả có thể lớn hơn 90°.
- Kiểm tra tam giác vuông: trước khi dùng tan, cos, phải chứng minh tam giác đó vuông.
- Vẽ hình rõ ràng: nét khuất vẽ đứt để không chọn nhầm mặt phẳng.
Với hình lập phương, bạn có thể luyện thêm bằng cách tính các góc nhị diện giữa mặt chéo và mặt đáy; ôn kích thước hình lập phương tại bài thể tích hình lập phương.
Câu hỏi thường gặp về góc nhị diện
Góc nhị diện có số đo trong khoảng nào?
Số đo góc nhị diện nằm trong khoảng từ 0° đến 180°, khác với góc giữa hai mặt phẳng chỉ từ 0° đến 90°.
Góc nhị diện học lớp mấy?
Theo chương trình giáo dục phổ thông mới, góc nhị diện được học trong phần quan hệ vuông góc trong không gian của Toán 11.
Làm sao xác định góc phẳng nhị diện?
Chọn một điểm O trên cạnh d, kẻ hai tia trong hai mặt cùng vuông góc với d tại O; góc giữa hai tia đó là góc phẳng nhị diện.
Góc nhị diện của tứ diện đều bằng bao nhiêu?
Góc nhị diện giữa hai mặt của tứ diện đều có côsin bằng 1/3, tức xấp xỉ 70,53°.
Ký hiệu [S, CD, A] nghĩa là gì?
Đó là góc nhị diện có cạnh CD, một mặt chứa điểm S (mặt SCD) và mặt còn lại chứa điểm A (mặt ACD, tức mặt đáy).
Có thể tính góc nhị diện bằng tọa độ Oxyz không?
Có. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến để có góc giữa hai mặt phẳng, rồi căn cứ vào hình để xác định góc nhị diện là góc đó hay góc bù.
Kết luận
Góc nhị diện là góc giữa hai nửa mặt phẳng chung cạnh d, đo bằng góc phẳng nhị diện tạo bởi hai tia cùng vuông góc với d tại một điểm, có giá trị từ 0° đến 180°. Khi làm bài, hãy tìm đường thẳng vuông góc với cạnh d nhờ quan hệ vuông góc có sẵn trong hình, dùng định lý ba đường vuông góc và tam giác vuông để tính. Luyện kỹ bốn ví dụ trên là bạn nắm được các dạng góc nhị diện cơ bản của Toán 11.
Xem thêm:
