Tứ diện đều là hình chóp tam giác có 4 mặt đều là tam giác đều bằng nhau, 6 cạnh bằng nhau và 4 đỉnh. Với cạnh bằng a, thể tích khối hình tứ diện là V = a³√2/12, chiều cao h = a√6/3 và diện tích toàn phần S = a²√3. Tứ diện là khối đa diện đều đơn giản nhất trong năm loại khối đa diện đều. Bài viết này tổng hợp tính chất, bảng công thức, cách chứng minh và 4 bài tập có lời giải để bạn ôn nhanh phần hình học không gian lớp 12. Bài viết tổng hợp định nghĩa, tính chất, toàn bộ công thức tính và bài tập có lời giải.
Tứ diện đều là gì?
Tứ diện là hình gồm 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D cùng 4 tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tứ diện đều là trường hợp đặc biệt khi cả 6 cạnh AB, AC, AD, BC, BD, CD đều bằng nhau, khiến 4 mặt là 4 tam giác đều bằng nhau.
Trong hình học không gian, khối đa diện đều thuộc loại khối đa diện đều {3; 3}: mỗi mặt là tam giác (3 cạnh) và mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt. Năm loại khối đa diện đều gồm tứ diện, lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều.
Tính chất của tứ diện đều
Trong hình học không gian, hình này sở hữu nhiều đặc điểm đối xứng tạo nên cấu trúc đặc trưng của khối hình này. Những tính chất cơ bản sẽ là nền tảng giúp bạn tiếp cận các dạng bài tập và công thức liên quan dễ dàng hơn.
- Mọi mặt đều là tam giác đều: có thể chọn bất kỳ mặt nào làm đáy, đỉnh còn lại là đỉnh của hình chóp tam giác đều.
- Chân đường cao trùng trọng tâm đáy: đường cao hạ từ một đỉnh rơi đúng vào trọng tâm (cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp) của mặt đối diện.
- Hai cạnh đối vuông góc: AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC.
- Đoạn vuông góc chung: đoạn nối trung điểm hai cạnh đối là đường vuông góc chung, có độ dài a√2/2.
- Tâm trùng nhau: tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và trọng tâm tứ diện là một điểm, nằm trên đường cao và cách đáy một phần tư đường cao.
- Có 6 mặt phẳng đối xứng: mỗi mặt phẳng chứa một cạnh và trung điểm cạnh đối diện.
Công thức tứ diện đều cạnh a
Đây là một hình khối không gian có những đặc điểm hình học và tính chất riêng biệt. Việc tổng hợp các công thức liên quan đến tứ diện cạnh a đều sẽ giúp bạn thuận tiện hơn khi học tập, ghi nhớ và giải các bài toán hình học không gian.
| Đại lượng | Công thức |
| Diện tích một mặt | S = a²√3/4 |
| Diện tích toàn phần | Stp = a²√3 |
| Chiều cao | h = a√6/3 |
| Thể tích | V = a³√2/12 |
| Bán kính mặt cầu ngoại tiếp | R = a√6/4 |
| Bán kính mặt cầu nội tiếp | r = a√6/12 |
| Khoảng cách giữa hai cạnh đối | d = a√2/2 |
| Góc giữa cạnh bên và mặt đáy | cosφ = 1/√3 (φ ≈ 54,74°) |
| Góc giữa hai mặt (góc nhị diện) | cosα = 1/3 (α ≈ 70,53°) |
Lưu ý R = 3r và R + r = h: tâm mặt cầu nằm trên đường cao, cách đỉnh 3/4 đường cao và cách đáy 1/4 đường cao.
Chứng minh công thức chiều cao và thể tích
Gọi tứ diện đều ABCD cạnh a, G là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó AG là đường cao của tứ diện.
- Tính BG: đường trung tuyến của tam giác đều cạnh a bằng a√3/2, nên BG = (2/3)·(a√3/2) = a√3/3.
- Tính AG: tam giác ABG vuông tại G, theo định lý Pytago: AG² = AB² − BG² = a² − a²/3 = 2a²/3, suy ra h = AG = a√6/3.
- Tính thể tích: diện tích đáy BCD bằng a²√3/4 (xem thêm diện tích tam giác đều). Do đó V = (1/3)·(a²√3/4)·(a√6/3) = a³√18/36 = a³√2/12.
Công thức V = (1/3)·Sđáy·h là công thức chung của mọi khối chóp, bạn có thể ôn lại trong bài thể tích khối chóp.
Chứng minh bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp
Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường cao AG và cách đều 4 đỉnh.
- Đặt OA = OB = R, OG = h − R. Trong tam giác vuông OBG: R² = BG² + (h − R)².
- Thay BG² = a²/3, h = a√6/3 và giải ra được R = a√6/4.
- Bán kính mặt cầu nội tiếp chính là khoảng cách từ O đến đáy: r = OG = h − R = a√6/3 − a√6/4 = a√6/12.
Khi đã có R, diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp tính theo công thức trong bài thể tích khối cầu.
Bài tập tứ diện đều có lời giải
Bài 1: Cho tứ diện đều cạnh a = 6 cm. Tính thể tích, chiều cao và diện tích toàn phần.
- V = 6³·√2/12 = 216√2/12 = 18√2 cm³ ≈ 25,46 cm³.
- h = 6√6/3 = 2√6 cm ≈ 4,90 cm.
- Stp = 6²·√3 = 36√3 cm² ≈ 62,35 cm².
Bài 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh 6 cm.
R = 6√6/4 = 3√6/2 cm ≈ 3,67 cm; khi đó r = R/3 = √6/2 cm ≈ 1,22 cm.
Bài 3: Tứ diện đều có thể tích bằng 18√2. Tính độ dài cạnh.
a³√2/12 = 18√2 ⇔ a³ = 216 ⇔ a = 6.
Bài 4: Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD của tứ diện đều cạnh a.
- Gọi M, N là trung điểm AB, CD. Ta có AN = BN = a√3/2 nên tam giác ANB cân, MN ⊥ AB; tương tự MN ⊥ CD.
- MN² = AN² − AM² = 3a²/4 − a²/4 = a²/2, suy ra d(AB, CD) = a√2/2.
Tứ diện đều khác hình chóp tam giác đều thế nào?
Dù có chung dạng cấu tạo với đáy tam giác, hai khối hình này vẫn có những đặc điểm riêng cần phân biệt. Phần dưới đây sẽ giúp bạn có cái nhìn tổng quan hơn về sự khác nhau giữa tứ diện hình đều và hình chóp tam giác đều.
| Tiêu chí | Hình chóp tam giác đều | Tứ diện đều |
| Mặt đáy | Tam giác đều | Tam giác đều |
| Cạnh bên | Bằng nhau, có thể khác cạnh đáy | Bằng cạnh đáy |
| Mặt bên | Tam giác cân | Tam giác đều |
| Chọn đáy | Chỉ một mặt là đáy | Mặt nào cũng có thể làm đáy |
Tứ diện đều xuất hiện ở đâu trong thực tế?
Không chỉ xuất hiện trong các bài toán hình học, hình đa diện đều còn có mặt trong nhiều lĩnh vực của đời sống, từ kiến trúc, thiết kế đến khoa học và tự nhiên. Những ví dụ thực tế dưới đây sẽ giúp bạn hình dung rõ hơn về tính ứng dụng của khối hình này.
- Phân tử metan (CH₄): nguyên tử cacbon nằm ở tâm, 4 nguyên tử hiđro nằm ở 4 đỉnh của một tứ diện đều; góc liên kết H–C–H xấp xỉ 109,5°.
- Xúc xắc 4 mặt: loại xúc xắc dùng trong một số trò chơi nhập vai có dạng tứ diện đều.
- Kết cấu khung: nhiều kết cấu giàn không gian ghép từ các khối tứ diện vì hình này rất cứng, khó biến dạng.
Câu hỏi thường gặp về tứ diện đều
Tứ diện đều có bao nhiêu cạnh, bao nhiêu mặt?
Tứ diện đều có 4 đỉnh, 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt là tam giác đều.
Công thức thể tích tứ diện đều là gì?
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V = a³√2/12.
Chiều cao của tứ diện đều cạnh a bằng bao nhiêu?
Chiều cao của tứ diện đều cạnh a là h = a√6/3, đường cao hạ từ một đỉnh xuống trọng tâm mặt đối diện.
Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng, mỗi mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều là bao nhiêu?
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a là R = a√6/4, gấp 3 lần bán kính mặt cầu nội tiếp r = a√6/12.
Hai cạnh đối của tứ diện đều có vuông góc không?
Có. Trong tứ diện đều, mọi cặp cạnh đối đều vuông góc với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng a√2/2.
Kết luận
Tứ diện đều là khối đa diện đều có 4 mặt tam giác đều và 6 cạnh bằng nhau. Bạn cần nhớ ba công thức cốt lõi: chiều cao h = a√6/3, thể tích V = a³√2/12 và bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = a√6/4; các đại lượng khác đều suy ra từ định lý Pytago và tính chất trọng tâm. Luyện bốn bài tập ở trên sẽ giúp bạn xử lý nhanh các câu hỏi hình đa diện đều trong đề kiểm tra và đề thi.
Xem thêm:
