Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy, với điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, công thức là d(M, Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Công thức này thường gặp trong Toán lớp 10 và lớp 12, từ bài tập cơ bản đến bài hình học tọa độ nâng cao. Bài viết tổng hợp công thức trong mặt phẳng Oxy, trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và bài tập có lời giải.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là gì?
Cho điểm M và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên Δ (MH ⊥ Δ, H ∈ Δ). Khi đó độ dài MH được gọi là khoảng cách từ M đến Δ, ký hiệu d(M, Δ).
- MH là đoạn ngắn nhất trong mọi đoạn nối M với một điểm trên Δ.
- Nếu M nằm trên Δ thì d(M, Δ) = 0.
Trong hình học phẳng không có tọa độ, ta thường tính MH bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc định lý Pytago. Khi có hệ tọa độ, ta dùng công thức đại số dưới đây.
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxy
Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (a² + b² ≠ 0). Khoảng cách từ M đến Δ là:
d(M, Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
Cách nhớ: thay tọa độ điểm vào vế trái phương trình đường thẳng, lấy trị tuyệt đối, rồi chia cho độ dài vectơ pháp tuyến n→ = (a; b).
Ví dụ 1
- Tính khoảng cách từ M(1; 2) đến đường thẳng Δ: 3x + 4y − 1 = 0.
- d(M, Δ) = |3·1 + 4·2 − 1| / √(3² + 4²) = |10| / 5 = 2.
Ví dụ 2
- Tính khoảng cách từ M(−2; 3) đến đường thẳng Δ: x − 2y + 3 = 0.
- d(M, Δ) = |−2 − 6 + 3| / √(1 + 4) = 5/√5 = √5.
Đường thẳng cho ở dạng tham số thì tính thế nào?
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trên chỉ dùng được khi đường thẳng ở dạng tổng quát. Nếu đề cho phương trình tham số hoặc chính tắc, bạn cần chuyển về dạng tổng quát trước.
- Từ phương trình tham số x = x₁ + u₁t, y = y₁ + u₂t, lấy vectơ chỉ phương u→ = (u₁; u₂).
- Suy ra vectơ pháp tuyến n→ = (u₂; −u₁).
- Viết phương trình tổng quát: u₂(x − x₁) − u₁(y − y₁) = 0.
- Áp dụng công thức khoảng cách.
Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d: x = 1 + 2t, y = −1 + t.
- u→ = (2; 1) nên n→ = (1; −2); d đi qua (1; −1).
- Phương trình tổng quát: (x − 1) − 2(y + 1) = 0 ⇔ x − 2y − 3 = 0.
- d(O, d) = |0 − 0 − 3| / √5 = 3/√5 = 3√5/5.
Cách chuyển đổi giữa các dạng phương trình được trình bày chi tiết trong bài phương trình đường thẳng.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng song song Δ₁: ax + by + c₁ = 0 và Δ₂: ax + by + c₂ = 0 (cùng hệ số a, b) cách nhau:
d(Δ₁, Δ₂) = |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
Ví dụ 4: Tính khoảng cách giữa Δ₁: 3x + 4y − 1 = 0 và Δ₂: 3x + 4y + 9 = 0.
- d = |−1 − 9| / 5 = 10/5 = 2.
- Lưu ý: nếu hai phương trình chưa cùng hệ số a, b (ví dụ 3x + 4y − 1 = 0 và 6x + 8y + 18 = 0), hãy chia hoặc nhân để đưa về cùng hệ số trước khi áp dụng công thức.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz
Trong không gian, đường thẳng không có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = 0, nên ta dùng tích có hướng. Cho đường thẳng Δ đi qua điểm A, có vectơ chỉ phương u→, và điểm M bất kỳ:
d(M, Δ) = |[AM→, u→]| / |u→|
Ví dụ 5:
- Đường thẳng Δ đi qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương u→ = (1; 1; 0). Tính khoảng cách từ M(0; 1; 1) đến Δ.
- AM→ = (−1; 1; 1).
- [AM→, u→] = (1·0 − 1·1; 1·1 − (−1)·0; (−1)·1 − 1·1) = (−1; 1; −2), có độ dài √6.
- |u→| = √2, suy ra d(M, Δ) = √6/√2 = √3.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và giữa hai mặt phẳng
Đây là phần mở rộng thường đi kèm trong chương trình lớp 12 ở bài học về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0:
d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Ví dụ 6:
- Tính khoảng cách từ M(1; −2; 3) đến (P): 2x − y + 2z − 1 = 0.
- d = |2 + 2 + 6 − 1| / √(4 + 1 + 4) = 9/3 = 3.
Hai mặt phẳng song song (P): Ax + By + Cz + D₁ = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D₂ = 0 cách nhau |D₁ − D₂| / √(A² + B² + C²). Ví dụ, 2x − y + 2z − 1 = 0 và 2x − y + 2z + 5 = 0 cách nhau 6/3 = 2. Xem thêm cách lập phương trình trong bài phương trình mặt phẳng.
Bảng tổng hợp công thức khoảng cách
Các công thức tính khoảng cách trong hình học thường xuất hiện ở nhiều dạng bài tập khác nhau, từ hình học phẳng đến hình học không gian. Việc hệ thống hóa các công thức thành bảng tổng hợp sẽ giúp bạn dễ tra cứu, ghi nhớ và lựa chọn cách tính phù hợp khi giải toán.
| Trường hợp | Công thức |
| Điểm đến đường thẳng (Oxy) | |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) |
| Hai đường thẳng song song (Oxy) | |c₁ − c₂| / √(a² + b²) |
| Điểm đến đường thẳng (Oxyz) | |[AM→, u→]| / |u→| |
| Điểm đến mặt phẳng (Oxyz) | |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
| Hai mặt phẳng song song (Oxyz) | |D₁ − D₂| / √(A² + B² + C²) |
Lỗi thường gặp khi tính khoảng cách
- Quên trị tuyệt đối: khoảng cách luôn không âm; ở Ví dụ 2, tử số là −5 nhưng phải lấy |−5| = 5.
- Dùng phương trình tham số trực tiếp: phải đổi về dạng tổng quát trước.
- Quên căn ở mẫu: mẫu là √(a² + b²), không phải a² + b². Nếu chưa chắc phần căn thức, bạn có thể ôn lại căn bậc hai.
- Hai đường song song chưa cùng hệ số: phải quy về cùng a, b mới được trừ c₁ − c₂.
Câu hỏi thường gặp về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Công thức khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng là gì?
Với điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ax + by + c = 0, khoảng cách là d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng học ở lớp mấy?
Công thức trong mặt phẳng tọa độ Oxy được học ở Toán lớp 10; công thức trong không gian Oxyz được học ở Toán lớp 12.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có thể âm không?
Không. Khoảng cách luôn lớn hơn hoặc bằng 0, vì vậy công thức có dấu trị tuyệt đối ở tử số. Khoảng cách bằng 0 khi điểm nằm trên đường thẳng.
Làm sao tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng?
Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với Δ (nhận vectơ pháp tuyến của Δ làm vectơ chỉ phương), rồi giải hệ để tìm giao điểm H của hai đường. Độ dài MH chính là khoảng cách.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng cắt nhau bằng bao nhiêu?
Hai đường thẳng cắt nhau có khoảng cách bằng 0 vì chúng có điểm chung. Công thức khoảng cách chỉ áp dụng cho hai đường thẳng song song (trong mặt phẳng) hoặc chéo nhau (trong không gian).
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng máy tính Casio được không?
Được. Bạn nhập biểu thức |aX + bY + c| ÷ √(a² + b²), dùng phím CALC để thay X = x₀, Y = y₀. Trong không gian, có thể dùng chế độ Vector của máy để tính tích có hướng.
Kết luận
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đến đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy, bạn chỉ cần đưa đường thẳng về dạng tổng quát rồi áp dụng d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²); trong không gian Oxyz, dùng tích có hướng d = |[AM→, u→]| / |u→|. Hãy lưu lại bảng tổng hợp để tra nhanh khi làm bài.
Xem thêm:
