Đa thức là một tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng đó được gọi là một hạng tử của đa thức. Ví dụ x² + 3xy − 5y + 2 là một đa thức gồm bốn hạng tử. Đa thức là kiến thức cốt lõi của Đại số lớp 7, làm nền cho việc rút gọn biểu thức và giải phương trình. Cùng tìm hiểu đa thức là gì, cách thu gọn, xác định bậc, cộng trừ đa thức, đa thức một biến và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết ngay sau đây.
Đa thức là gì?
Đa thức là tổng của những đơn thức, và mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. Một đơn thức cũng được coi là một đa thức (đa thức chỉ có một hạng tử). Ví dụ: 3x² + 2x − 1; xy + y²; hay đơn giản là 5x đều là đa thức.
Phân biệt đơn thức và đa thức
Nhiều bạn hay nhầm lẫn giữa đơn thức và đa thức. Bảng dưới đây tóm tắt điểm khác nhau cơ bản để bạn dễ ghi nhớ.
| Tiêu chí | Đơn thức | Đa thức |
|---|---|---|
| Khái niệm | Biểu thức chỉ gồm tích của một số với các biến | Tổng của một hay nhiều đơn thức |
| Số hạng tử | Đúng một hạng tử | Một hoặc nhiều hạng tử |
| Ví dụ | 3x², −5xy, 7 | 3x² + 2x − 1, xy + y² |
| Quan hệ | Là trường hợp riêng của đa thức | Bao hàm cả đơn thức |
Thu gọn đa thức
Thu gọn đa thức là quá trình cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng để đưa đa thức về dạng đơn giản nhất, trong đó không còn hai hạng tử nào đồng dạng.
Ví dụ, thu gọn đa thức 3x² + 2xy − x² + 5xy:
- Bước 1 – Nhóm các hạng tử đồng dạng: (3x² − x²) + (2xy + 5xy).
- Bước 2 – Cộng, trừ hệ số và giữ nguyên phần biến: 2x² + 7xy.
Khi thực hiện thu gọn đa thức, bạn nên nhóm các hạng tử đồng dạng trước, sau đó cộng hoặc trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến. Cách làm này giúp hạn chế sai sót và rút ngắn thời gian tính toán.
Bậc của đa thức là gì
Bậc của một đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. Vì vậy, khi xác định bậc của đa thức, trước hết cần thu gọn đa thức và tìm hạng tử có bậc lớn nhất.
Ví dụ, đa thức 2x²y + 3xy − 1 có các hạng tử lần lượt là 2x²y, 3xy và −1, với bậc tương ứng là 3, 2 và 0. Do đó, bậc của đa thức này là 3.
Lưu ý: Số 0 được gọi là đa thức không và không có bậc xác định. Đây là trường hợp đặc biệt cần ghi nhớ khi làm các bài toán liên quan đến bậc của đa thức.
Cộng, trừ đa thức
Để cộng hoặc trừ hai đa thức, ta viết các đa thức cạnh nhau, đồng thời chú ý đến dấu của từng hạng tử, đặc biệt là khi thực hiện phép trừ. Sau đó, ta nhóm các hạng tử đồng dạng và tiến hành thu gọn.
Ví dụ: A = 2x² + 3x − 1; B = x² − 5x + 4.
Khi đó: A + B = (2x² + x²) + (3x − 5x) + (−1 + 4) = 3x² − 2x + 3.
Với phép trừ, bạn cần bỏ ngoặc và đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức đứng sau dấu trừ: A − B = (2x² − x²) + (3x + 5x) + (−1 − 4) = x² + 8x − 5.
Đa thức một biến và nghiệm
Đa thức một biến là gì? Đây là đa thức chỉ chứa một biến duy nhất, thường được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến để dễ quan sát và thực hiện các phép tính. Ví dụ: P(x) = 2x³ − x² + 4x − 7.
Giá trị của biến x làm cho giá trị của đa thức bằng 0 được gọi là nghiệm của đa thức. Để kiểm tra một giá trị có phải là nghiệm hay không, ta thay giá trị đó vào đa thức rồi tính kết quả.
Cụ thể, với x = x₀, ta tính giá trị của đa thức tại x₀. Nếu kết quả thu được bằng 0 thì x₀ là nghiệm của đa thức.
Nhân đơn thức với đa thức
Để nhân một đơn thức với một đa thức, ta lấy đơn thức đó nhân lần lượt với từng hạng tử của đa thức, sau đó cộng các kết quả thu được lại với nhau.
Ví dụ: 2x·(x² + 3x − 1) = 2x·x² + 2x·3x + 2x·(−1) = 2x³ + 6x² − 2x.
Đây là một phép biến đổi đại số cơ bản, được sử dụng thường xuyên trong quá trình rút gọn biểu thức, đồng thời là nền tảng để giải các bài toán về phương trình và đại số ở các lớp học cao hơn.
Những lỗi thường gặp khi làm bài về đa thức
Khi làm bài tập về đa thức, bạn nên tránh một vài lỗi phổ biến sau để không bị mất điểm đáng tiếc:
- Cộng nhầm các hạng tử không đồng dạng, ví dụ gộp 3x² với 2x thành 5x³ – đây là sai lầm hay gặp nhất.
- Quên đổi dấu khi bỏ ngoặc trong phép trừ hai đa thức.
- Xác định bậc khi chưa thu gọn, dẫn đến kết luận sai về bậc của đa thức.
- Tính sai bậc của hạng tử nhiều biến: bậc bằng tổng số mũ của tất cả các biến, ví dụ x²y có bậc 3 chứ không phải 2.
Bài tập vận dụng có lời giải
Bài 1: Thu gọn đa thức 4x² + 3x − 2x² + x. Lời giải: = (4x² − 2x²) + (3x + x) = 2x² + 4x.
Bài 2: Tìm bậc của đa thức 5x³y − 2xy + 7. Lời giải: hạng tử 5x³y có bậc 4 (cao nhất), nên bậc đa thức là 4.
Bài 3: Tính A + B với A = x² + 2x, B = 3x² − x + 1. Lời giải: = (x² + 3x²) + (2x − x) + 1 = 4x² + x + 1.
Bài 4: Tính giá trị của P(x) = 2x² − 3x + 1 tại x = 2. Lời giải: P(2) = 2·4 − 3·2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.
Bài 5 (trắc nghiệm): Đa thức 3x² + 2x − 5 có bậc bằng bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 3 D. 5. Đáp án: B.
Câu hỏi thường gặp về đa thức
Đa thức là gì?
Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng là một hạng tử của đa thức.
Bậc của đa thức được xác định thế nào?
Bậc của đa thức là bậc cao nhất trong các hạng tử của đa thức sau khi đã thu gọn.
Thu gọn đa thức là làm gì?
Thu gọn đa thức là cộng, trừ các hạng tử đồng dạng để đa thức không còn hạng tử đồng dạng nào.
Nghiệm của đa thức một biến là gì?
Nghiệm của đa thức một biến là giá trị của biến làm cho đa thức nhận giá trị bằng 0.
Đơn thức có phải đa thức không?
Có, một đơn thức cũng là một đa thức (đa thức có một hạng tử duy nhất).
Đa thức không là gì?
Đa thức không là số 0. Đây là đa thức đặc biệt và không có bậc xác định.
Kết luận
Tóm lại, đa thức là tổng của những đơn thức, có bậc bằng bậc cao nhất của các hạng tử sau khi thu gọn. Nắm vững cách thu gọn, cộng trừ và tìm bậc đa thức sẽ giúp bạn giải tốt các bài toán đại số. Để học thêm, mời bạn tham khảo các bài tập hợp số nguyên Z là gì, công thức tổ hợp, chỉnh hợp và một năm ánh sáng bằng bao nhiêu km trên chuyên mục tin tức của Hoàng Hà Mobile.
Xem thêm:
