Elip là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định, gọi là hai tiêu điểm, luôn bằng một hằng số không đổi. Phương trình chính tắc của elip có dạng x²/a² + y²/b² = 1 (với a > b > 0). Đây là kiến thức trọng tâm của Hình học lớp 10, cũng là đường cong mô tả quỹ đạo hành tinh trong Vật lý. Nội dung dưới đây trình bày elip là gì, phương trình chính tắc, các yếu tố, tâm sai, diện tích – chu vi, cách viết phương trình và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.
Elip là gì?
Cho hai điểm cố định F₁ và F₂ với khoảng cách F₁F₂ = 2c > 0. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách MF₁ + MF₂ = 2a không đổi (với a > c). Hai điểm F₁ và F₂ được gọi là hai tiêu điểm của elip, còn đoạn F₁F₂ gọi là tiêu cự. Về hình dạng, elip có thể được hình dung như một đường tròn bị kéo dài hoặc dẹt lại theo một phương.
Phương trình chính tắc của elip
Khi chọn hệ tọa độ sao cho hai tiêu điểm nằm trên trục hoành và đối xứng qua gốc tọa độ, elip có phương trình chính tắc:
x²/a² + y²/b² = 1 (với a > b > 0)
Trong đó a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ, còn c là nửa tiêu cự. Ba đại lượng này liên hệ với nhau qua hệ thức b² = a² − c², hay viết cách khác là a² = b² + c². Chỉ cần biết hai trong ba giá trị a, b, c là bạn tính được giá trị còn lại và viết ngay được phương trình.
Một điểm M(x₀; y₀) thuộc elip khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình. Ví dụ, xét elip x²/25 + y²/9 = 1 và điểm M(3; 2,4): thay vào ta có 9/25 + 5,76/9 = 0,36 + 0,64 = 1, vậy M nằm trên elip.
Các yếu tố của elip
Từ phương trình chính tắc, bạn xác định được toàn bộ các yếu tố hình học của elip theo bảng sau.
| Yếu tố | Giá trị |
|---|---|
| Trục lớn | Độ dài 2a (nằm trên trục hoành) |
| Trục nhỏ | Độ dài 2b (nằm trên trục tung) |
| Tiêu cự | F₁F₂ = 2c, với c² = a² − b² |
| Hai tiêu điểm | F₁(−c; 0) và F₂(c; 0) |
| Bốn đỉnh | A₁(−a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; −b), B₂(0; b) |
| Tâm đối xứng | Gốc tọa độ O(0; 0) |
| Trục đối xứng | Trục hoành và trục tung |
Tâm sai của elip
Tâm sai, ký hiệu là e, là tỉ số giữa khoảng cách từ tâm đến một tiêu điểm và bán trục lớn, được tính theo công thức e = c/a. Vì 0 < c < a nên tâm sai của elip luôn thỏa mãn 0 < e < 1. Tâm sai cho biết mức độ dẹt của elip: e càng gần 0 thì elip càng gần với đường tròn, còn e càng gần 1 thì elip càng dẹt.
Tâm sai còn giúp tính nhanh bán kính qua tiêu, tức khoảng cách từ một điểm M(x₀; y₀) trên elip đến hai tiêu điểm: MF₁ = a + e·x₀ và MF₂ = a − e·x₀. Cộng hai biểu thức lại luôn được 2a, đúng với định nghĩa ban đầu của elip.
Diện tích và chu vi hình elip
Diện tích hình elip được tính rất gọn bằng công thức S = π × a × b, trong đó a và b là hai bán trục. Khi a = b, công thức trở về đúng S = πR² của hình tròn.
- Ví dụ: elip x²/25 + y²/9 = 1 có a = 5, b = 3 nên S = π × 5 × 3 = 15π ≈ 47,12 đơn vị diện tích.
- Ví dụ: elip x²/16 + y²/9 = 1 có a = 4, b = 3 nên S = 12π ≈ 37,70 đơn vị diện tích.
Chu vi elip không có công thức sơ cấp gọn như diện tích, nên người ta thường dùng công thức gần đúng của Ramanujan: C ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Với a = 5 và b = 3, ta có 3(a + b) = 24, (3a + b)(a + 3b) = 18 × 14 = 252, √252 ≈ 15,87, nên C ≈ π × 8,13 ≈ 25,53 đơn vị độ dài.
Ví dụ về elip
- Ví dụ 1: Elip x²/25 + y²/9 = 1 có a² = 25, b² = 9 nên a = 5, b = 3; c² = a² − b² = 16 nên c = 4. Trục lớn 2a = 10, trục nhỏ 2b = 6, tiêu cự 2c = 8, hai tiêu điểm là F₁(−4; 0) và F₂(4; 0).
- Ví dụ 2: Elip trên có tâm sai e = c/a = 4/5 = 0,8, tức là khá dẹt. Với điểm M(3; 2,4) nằm trên elip, bán kính qua tiêu là MF₁ = 5 + 0,8 × 3 = 7,4 và MF₂ = 5 − 0,8 × 3 = 2,6; tổng bằng 10 = 2a.
Cách viết phương trình chính tắc của elip
Dù đề bài cho dữ kiện nào, bạn cũng chỉ cần quy về việc tìm a² và b², rồi thay vào dạng x²/a² + y²/b² = 1. Ba dạng thường gặp:
- Dạng 1 – biết độ dài hai trục: trục lớn bằng 10, trục nhỏ bằng 6 thì a = 5, b = 3, phương trình là x²/25 + y²/9 = 1.
- Dạng 2 – biết một trục và tiêu điểm: elip có tiêu điểm F(4; 0) và đi qua điểm B(0; 3). Vì B nằm trên trục tung nên b = 3, lại có c = 4 nên a² = b² + c² = 9 + 16 = 25, phương trình là x²/25 + y²/9 = 1.
- Dạng 3 – biết tâm sai và một trục: elip có tâm sai e = 0,6 và trục lớn bằng 10. Khi đó a = 5, c = e × a = 3, suy ra b² = 25 − 9 = 16, phương trình là x²/25 + y²/16 = 1.
Xem thêm: Công Thức Tính Diện Tích Hình Tròn: Cách Tính, Ví Dụ & Bài Tập
Bài tập vận dụng có lời giải
- Bài 1: Cho elip x²/16 + y²/4 = 1. Tìm a, b, c. Lời giải: a² = 16 nên a = 4; b² = 4 nên b = 2; c² = a² − b² = 16 − 4 = 12 nên c = 2√3 ≈ 3,46.
- Bài 2: Tính độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip x²/36 + y²/25 = 1. Lời giải: a² = 36 nên a = 6; b² = 25 nên b = 5. Trục lớn 2a = 12, trục nhỏ 2b = 10.
- Bài 3: Elip có a = 5, c = 3. Viết phương trình chính tắc. Lời giải: b² = a² − c² = 25 − 9 = 16, vậy phương trình là x²/25 + y²/16 = 1.
- Bài 4: Tìm tọa độ hai tiêu điểm của elip x²/100 + y²/64 = 1. Lời giải: a = 10, b = 8, c² = 100 − 64 = 36 nên c = 6. Hai tiêu điểm là F₁(−6; 0) và F₂(6; 0).
- Bài 5: Tính diện tích hình elip x²/49 + y²/25 = 1. Lời giải: a = 7, b = 5 nên S = π × 7 × 5 = 35π ≈ 109,96 đơn vị diện tích.
- Bài 6 (trắc nghiệm): Tâm sai của elip x²/25 + y²/16 = 1 bằng bao nhiêu? A. 0,6 — B. 0,8 — C. 0,5 — D. 1. Đáp án: A, vì c² = 25 − 16 = 9 nên c = 3, a = 5 và e = 3/5 = 0,6.
Cách vẽ elip và ứng dụng
Bạn có thể vẽ elip bằng cách cố định hai chiếc đinh tại hai tiêu điểm, sau đó buộc một sợi dây có độ dài cố định vào hai chiếc đinh. Khi dùng bút giữ căng sợi dây và di chuyển xung quanh, đầu bút sẽ vạch nên một đường elip, vì tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường vẽ đến hai tiêu điểm luôn bằng độ dài sợi dây. Độ dài dây chính là 2a, còn khoảng cách giữa hai đinh chính là 2c.
Trong thực tế, elip xuất hiện ở nhiều nơi: quỹ đạo chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời theo định luật Kepler, thiết kế thấu kính và gương phản xạ, mặt cắt của ống nghiêng, vòm trần kiểu “phòng thì thầm” hay đường biên của nhiều sân vận động.
Phân biệt elip và đường tròn
Đường tròn là một trường hợp đặc biệt của elip khi hai tiêu điểm trùng nhau, tức c = 0. Bảng dưới đây tóm tắt khác biệt giữa hai đường cong này.
| Tiêu chí | Elip | Đường tròn |
|---|---|---|
| Tiêu điểm | Hai tiêu điểm phân biệt | Hai tiêu điểm trùng nhau tại tâm |
| Quan hệ a, b | a > b | a = b = R |
| Tâm sai | 0 < e < 1 | e = 0 |
| Phương trình | x²/a² + y²/b² = 1 | x² + y² = R² |
| Diện tích | S = πab | S = πR² |
Xem thêm: Diện tích xung quanh hình trụ và ứng dụng
Câu hỏi thường gặp về elip
Elip là gì?
Là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm luôn bằng một hằng số 2a.
Phương trình chính tắc của elip là gì?
Phương trình chính tắc của elip là x²/a² + y²/b² = 1 với a > b > 0.
Hệ thức giữa a, b, c của elip là gì?
Hệ thức là b² = a² − c², trong đó 2c là tiêu cự và 2a là độ dài trục lớn.
Tâm sai của elip là gì?
Tâm sai là e = c/a, luôn thỏa mãn 0 < e < 1; e càng lớn thì elip càng dẹt.
Đường tròn có phải elip không?
Có, đường tròn là elip đặc biệt khi hai tiêu điểm trùng nhau, khi đó c = 0, a = b và e = 0.
Công thức tính diện tích hình elip là gì?
Diện tích hình elip bằng S = πab, với a và b lần lượt là bán trục lớn và bán trục nhỏ.
Làm sao biết một điểm có thuộc elip hay không?
Thay tọa độ điểm đó vào phương trình chính tắc, nếu vế trái bằng 1 thì điểm thuộc elip.
Kết luận
Tóm lại, elip là tập hợp điểm có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng 2a, với phương trình chính tắc x²/a² + y²/b² = 1 và hệ thức b² = a² − c². Chỉ cần nhớ ba đại lượng a, b, c cùng công thức tâm sai e = c/a và diện tích S = πab, bạn sẽ xử lý gọn hầu hết dạng bài về elip trong chương trình lớp 10. Để học thêm, mời bạn tham khảo các bài công thức tính diện tích hình tròn, công thức tính diện tích tam giác và một năm ánh sáng bằng bao nhiêu km trên chuyên mục tin tức của Hoàng Hà Mobile.
