Đường tròn là gì? Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R. Đường tròn là hình học cơ bản, xuất hiện xuyên suốt chương trình Toán THCS và THPT. Bài viết này trình bày đường tròn là gì, các yếu tố, công thức chu vi – diện tích, phương trình đường tròn, vị trí tương đối, góc ở tâm – góc nội tiếp và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.
Đường tròn là gì?
Đường tròn tâm O bán kính R (ký hiệu (O; R)) là tập hợp các điểm cách tâm O một khoảng bằng R. Cần phân biệt: đường tròn là đường cong khép kín (chỉ gồm các điểm nằm trên viền, có chu vi), còn hình tròn là phần mặt phẳng nằm bên trong đường tròn kể cả viền (có diện tích).
Các yếu tố của đường tròn
Các yếu tố của đường tròn là nội dung giúp người học làm quen với những thành phần cơ bản trong hình học. Phần này khái quát các đặc điểm, mối liên hệ và tính chất liên quan đến đường tròn. Qua đó, người học có thể xây dựng nền tảng để tiếp cận các kiến thức hình học nâng cao hơn.
| Yếu tố | Định nghĩa |
| Tâm | Điểm O cố định, cách đều mọi điểm trên đường tròn |
| Bán kính (R) | Khoảng cách từ tâm đến một điểm trên đường tròn |
| Đường kính (d) | Dây cung đi qua tâm, d = 2R (dây lớn nhất) |
| Dây cung | Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn |
| Cung | Một phần của đường tròn giới hạn bởi hai điểm |
| Tiếp tuyến | Đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn |
Công thức chu vi và diện tích đường tròn là gì
Công thức tính chu vi đường tròn: C = 2πR = πd. Trong đó:
- C: Chu vi đường tròn.
- R: Bán kính đường tròn.
- d: Đường kính đường tròn.
- π ≈ 3,14.
Diện tích hình tròn: S = πR². Trong đó:
- S: Diện tích hình tròn.
- R: Bán kính hình tròn.
Phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:
(x − a)² + (y − b)² = R²
Khi tâm trùng gốc tọa độ O(0; 0), phương trình rút gọn thành x² + y² = R².
Đường tròn là một trong các đường conic quen thuộc của chương trình Toán phổ thông, bên cạnh parabol — đồ thị của hàm số bậc hai y = ax² + bx + c.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Đường tròn là gì? Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng, R là bán kính của đường tròn.
- Nếu d > R: Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.
- Nếu d = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm (đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn).
- Nếu d < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Xét hai đường tròn có bán kính R và r (R ≥ r). Gọi OO’ là khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn.
- Nếu OO’ > R + r: Hai đường tròn ở ngoài nhau, không có điểm chung.
- Nếu OO’ = R + r: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài, có một điểm chung.
- Nếu R − r < OO’ < R + r: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
- Nếu OO’ = R − r: Hai đường tròn tiếp xúc trong, có một điểm chung.
Góc ở tâm và góc nội tiếp
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn; số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung; số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn. Do đó, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) luôn bằng 90°.
Tính chất của tiếp tuyến đường tròn là gì
Tiếp tuyến của đường tròn có những tính chất quan trọng: tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm; từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ được hai tiếp tuyến, và hai tiếp tuyến đó bằng nhau, đồng thời tia nối điểm đó với tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Những tính chất này thường được dùng để chứng minh và tính toán trong các bài toán hình học về đường tròn.
Bài tập vận dụng có lời giải
Bài 1: Tính chu vi và diện tích đường tròn bán kính 7 cm. Lời giải: C = 2 × 3,14 × 7 = 43,96 cm; S = 3,14 × 7² = 153,86 cm².
Bài 2: Viết phương trình đường tròn tâm I(1; −2), bán kính 3. Lời giải: (x − 1)² + (y + 2)² = 9.
Bài 3: Một góc nội tiếp chắn cung 100°. Tính số đo góc đó. Lời giải: góc nội tiếp = 100°/2 = 50°.
Bài 4 (trắc nghiệm): Đường tròn x² + y² = 16 có bán kính bằng bao nhiêu? A. 16 B. 8 C. 4 D. 2. Đáp án: C, vì R² = 16 nên R = 4.
Câu hỏi thường gặp về đường tròn
Đường tròn là gì?
Là tập hợp các điểm cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi bằng bán kính R.
Đường tròn khác hình tròn thế nào?
Đường tròn là đường cong viền ngoài (có chu vi), hình tròn là phần mặt phẳng bên trong (có diện tích).
Công thức chu vi đường tròn là gì?
Chu vi C = 2πR = πd, với R là bán kính, d là đường kính.
Phương trình đường tròn có dạng gì?
(x − a)² + (y − b)² = R², với tâm I(a; b) và bán kính R.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng bao nhiêu?
Luôn bằng 90° (góc vuông).
Kết luận
Đường tròn là gì? Tóm lại, đường tròn là tập hợp các điểm cách đều tâm một khoảng bằng bán kính, có chu vi C = 2πR và phương trình (x − a)² + (y − b)² = R². Nắm vững các yếu tố, vị trí tương đối và góc trong đường tròn sẽ giúp bạn học tốt hình học. Để tìm hiểu thêm, mời bạn tham khảo các bài công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn và một năm ánh sáng bằng bao nhiêu km trên chuyên mục tin tức của Hoàng Hà Mobile.
Xem thêm:
