Vectơ pháp tuyến của một đường thẳng (hoặc mặt phẳng) là vectơ khác vectơ – không và có giá vuông góc với đường thẳng (hoặc mặt phẳng) đó. Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗ = (a; b); mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗ = (A; B; C). Bài viết giải thích định nghĩa, cách tìm vectơ pháp tuyến từ phương trình, từ vectơ chỉ phương, từ hai điểm và ứng dụng để viết phương trình, kèm ví dụ có lời giải.
Vectơ pháp tuyến là gì?
Trong mặt phẳng, vectơ n⃗ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ nếu n⃗ ≠ 0⃗ và giá của n⃗ vuông góc với Δ. Trong không gian, vectơ n⃗ ≠ 0⃗ có giá vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi là vectơ pháp tuyến của (P).
- Một đường thẳng (mặt phẳng) có vô số vectơ pháp tuyến; chúng cùng phương với nhau.
- Nếu n⃗ là vectơ pháp tuyến thì k·n⃗ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến.
- Vectơ pháp tuyến luôn vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Phân biệt vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương
| Tiêu chí | Vectơ pháp tuyến | Vectơ chỉ phương |
|---|---|---|
| Vị trí so với đường thẳng | Vuông góc | Song song hoặc trùng |
| Ký hiệu thường dùng | n⃗ | u⃗ |
| Đọc từ phương trình | Phương trình tổng quát ax + by + c = 0 ⇒ (a; b) | Phương trình tham số x = x₀ + u₁t, y = y₀ + u₂t ⇒ (u₁; u₂) |
| Quan hệ | n⃗ · u⃗ = 0; nếu u⃗ = (u₁; u₂) thì n⃗ = (u₂; −u₁) | |
Một mẹo nhớ: “đổi chỗ, đổi dấu một thành phần” để chuyển từ vectơ chỉ phương sang vectơ pháp tuyến và ngược lại.
Cách tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Cách 1: Từ phương trình tổng quát
Đường thẳng Δ: 2x − y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗ = (2; −1). Bạn cũng có thể dùng (−2; 1) hoặc (4; −2) vì cùng phương.
Cách 2: Từ vectơ chỉ phương
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u⃗ = (1; 2) thì vectơ pháp tuyến là n⃗ = (2; −1). Kiểm tra: n⃗ · u⃗ = 2·1 + (−1)·2 = 0.
Cách 3: Từ hai điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; 5).
- Vectơ chỉ phương AB⃗ = (2; 3) ⇒ vectơ pháp tuyến n⃗ = (3; −2).
- Phương trình: 3(x − 1) − 2(y − 2) = 0 ⇔ 3x − 2y + 1 = 0.
- Kiểm tra với B(3; 5): 3·3 − 2·5 + 1 = 0, đúng.
Cách 4: Từ quan hệ vuông góc, song song
- Δ song song với d: ax + by + c = 0 ⇒ Δ có cùng vectơ pháp tuyến (a; b).
- Δ vuông góc với d ⇒ vectơ pháp tuyến của d là vectơ chỉ phương của Δ.
Các dạng phương trình và cách chuyển đổi được trình bày chi tiết trong bài phương trình đường thẳng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trong không gian Oxyz
Từ phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗ = (2; −1; 2).
Từ hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng
Nếu u⃗ và v⃗ là hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong (P), thì vectơ pháp tuyến của (P) là tích có hướng n⃗ = [u⃗, v⃗].
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).
- AB⃗ = (−1; 1; 0), AC⃗ = (−1; 0; 1).
- n⃗ = [AB⃗, AC⃗] = (1·1 − 0·0; 0·(−1) − (−1)·1; (−1)·0 − 1·(−1)) = (1; 1; 1).
- Phương trình: 1(x − 1) + 1(y − 0) + 1(z − 0) = 0 ⇔ x + y + z − 1 = 0.
Ví dụ 2: Mặt phẳng qua M(1; −1; 2) và chứa hai vectơ chỉ phương u⃗ = (1; 2; 3), v⃗ = (2; 0; 1).
- n⃗ = [u⃗, v⃗] = (2·1 − 3·0; 3·2 − 1·1; 1·0 − 2·2) = (2; 5; −4).
- Phương trình: 2(x − 1) + 5(y + 1) − 4(z − 2) = 0 ⇔ 2x + 5y − 4z + 11 = 0.
Xem thêm các dạng lập phương trình trong bài phương trình mặt phẳng.
Ứng dụng của vectơ pháp tuyến
- Viết phương trình: đường thẳng đi qua M(x₀; y₀) có vectơ pháp tuyến (a; b) là a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0.
- Tính khoảng cách: công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng dùng độ dài vectơ pháp tuyến ở mẫu số, ví dụ |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
- Tính góc: góc giữa hai đường thẳng (hoặc hai mặt phẳng, xem thêm góc nhị diện) tính qua góc giữa hai vectơ pháp tuyến: cosφ = |n⃗₁ · n⃗₂| / (|n⃗₁|·|n⃗₂|).
- Xét vị trí tương đối: hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau khi vectơ pháp tuyến cùng phương; vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0.
- Tiếp tuyến của đồ thị: đường pháp tuyến tại một điểm vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.
Bài tập tự luyện vectơ pháp tuyến
| Bài | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | Tìm một vectơ pháp tuyến của x + 3y − 2 = 0 | (1; 3) |
| 2 | Đường thẳng có vectơ chỉ phương (4; −1), tìm vectơ pháp tuyến | (1; 4) |
| 3 | Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 2), B(3; 5) | 3x − 2y + 1 = 0 |
| 4 | Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng x − 2y + 5z = 0 | (1; −2; 5) |
| 5 | Mặt phẳng qua A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) | x + y + z − 1 = 0 |
Lỗi thường gặp khi tìm vectơ pháp tuyến
- Nhầm với vectơ chỉ phương: đọc (u₁; u₂) từ phương trình tham số rồi dùng như vectơ pháp tuyến.
- Quên đổi dấu: từ u⃗ = (1; 2) suy ra n⃗ = (2; 1) là sai, phải là (2; −1).
- Lấy cả hệ số tự do: với ax + by + c = 0, vectơ pháp tuyến chỉ gồm (a; b), không có c.
- Tính sai tích có hướng: nên viết rõ từng thành phần và kiểm tra lại bằng tích vô hướng với u⃗, v⃗ (phải bằng 0).
Câu hỏi thường gặp về vectơ pháp tuyến
Vectơ pháp tuyến là gì?
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng hoặc mặt phẳng là vectơ khác vectơ – không có giá vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng đó.
Đường thẳng 3x − 4y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là gì?
Đường thẳng 3x − 4y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗ = (3; −4), hoặc bất kỳ vectơ nào cùng phương như (−3; 4), (6; −8).
Làm sao chuyển từ vectơ chỉ phương sang vectơ pháp tuyến?
Với u⃗ = (u₁; u₂), đổi chỗ hai thành phần và đổi dấu một thành phần: n⃗ = (u₂; −u₁) hoặc (−u₂; u₁).
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả đều cùng phương với nhau và khác vectơ – không.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tìm thế nào?
Đọc trực tiếp (A; B; C) từ phương trình Ax + By + Cz + D = 0, hoặc lấy tích có hướng của hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng.
Vectơ pháp tuyến học ở lớp mấy?
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng được học ở Toán lớp 10; vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trong không gian Oxyz được học ở Toán lớp 12.
Kết luận
Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng, đọc trực tiếp từ hệ số của phương trình tổng quát: (a; b) trong mặt phẳng và (A; B; C) trong không gian. Khi chỉ biết vectơ chỉ phương, hãy đổi chỗ và đổi dấu một thành phần; khi biết hai vectơ trong mặt phẳng, dùng tích có hướng. Nắm chắc vectơ pháp tuyến là nền tảng để viết phương trình, tính khoảng cách và tính góc.
Xem thêm:
