Ước số (hay ước) của một số tự nhiên a là số tự nhiên mà a chia hết cho nó. Nói cách khác, nếu a chia hết cho b thì b được gọi là ước của a, đồng thời a là bội của b. Đây là kiến thức nền của Toán lớp 6, gắn liền với bội số, số nguyên tố, ước chung và ước chung lớn nhất, đồng thời còn theo bạn suốt các bài toán về phân số, chia hết hay rút gọn biểu thức ở lớp trên. Nội dung dưới đây trình bày khái niệm ước số, cách tìm ước nhanh, ba cách tìm ƯCLN, cách phân biệt ước với bội và bài tập có lời giải từng bước.
Trước khi luyện tìm ước số, các em nên nắm chắc bảng cửu chương — công cụ giúp nhân chia nhanh và xác định ước, bội chính xác hơn.
Ước số là gì?
Ước số của một số tự nhiên a là số tự nhiên mà a chia hết cho nó. Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b (b khác 0) thì ta nói b là ước của a, còn a là bội của b. Ví dụ, 12 chia hết cho 3 nên 3 là ước của 12 và 12 là bội của 3. Tập hợp các ước của a được ký hiệu là Ư(a). Một vài tính chất cần nhớ:
- Số 1 là ước của mọi số tự nhiên, và mọi số tự nhiên khác 0 đều là ước của chính nó.
- Số 0 không bao giờ là ước của số nào (vì không thể chia cho 0), nhưng 0 là bội của mọi số.
- Mỗi số tự nhiên khác 0 chỉ có hữu hạn ước, ước lớn nhất chính là bản thân số đó.
Cách tìm ước của một số
Cách cơ bản nhất là lần lượt chia số a cho các số tự nhiên từ 1 đến a, số nào chia hết thì đó là ước. Tuy nhiên cách này rất chậm với số lớn, nên trên thực tế bạn chỉ cần xét các số từ 1 đến căn bậc hai của a rồi ghép cặp: nếu b là ước thì a : b cũng là ước.
Ví dụ với a = 36:
- 36 : 1 = 36 → được cặp ước (1; 36).
- 36 : 2 = 18 → được cặp (2; 18).
- 36 : 3 = 12 → được cặp (3; 12).
- 36 : 4 = 9 → được cặp (4; 9).
- 36 : 6 = 6 → được ước 6 (cặp trùng nhau nên chỉ tính một lần).
Dừng lại ở 6 vì 6 × 6 = 36. Vậy Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}, gồm 9 ước. Cách ghép cặp này giúp bạn liệt kê ước của số có ba chữ số chỉ trong vài chục giây.
Bảng ước của một số số thường gặp
Bảng dưới đây tổng hợp tập ước của những số hay xuất hiện trong bài tập lớp 6, kèm dạng phân tích ra thừa số nguyên tố để bạn đối chiếu.
| Số | Phân tích ra thừa số nguyên tố | Tập ước | Số lượng ước |
|---|---|---|---|
| 12 | 2² × 3 | 1; 2; 3; 4; 6; 12 | 6 |
| 18 | 2 × 3² | 1; 2; 3; 6; 9; 18 | 6 |
| 20 | 2² × 5 | 1; 2; 4; 5; 10; 20 | 6 |
| 24 | 2³ × 3 | 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 | 8 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 | 8 |
| 36 | 2² × 3² | 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 | 9 |
Đếm nhanh số lượng ước bằng thừa số nguyên tố
Khi đề bài chỉ hỏi “số đó có bao nhiêu ước” mà không cần liệt kê, bạn không phải viết ra từng ước. Nếu phân tích được a = p₁^m × p₂^n × … thì số lượng ước của a bằng tích (m + 1)(n + 1)…
- Với 36 = 2² × 3²: số ước là (2 + 1)(2 + 1) = 9 ước, đúng bằng kết quả liệt kê ở trên.
- Với 60 = 2² × 3 × 5: số ước là (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 ước, gồm 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.
- Với 100 = 2² × 5²: số ước là (2 + 1)(2 + 1) = 9 ước, gồm 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100.
Ước chung và ước chung lớn nhất
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó, còn ước chung lớn nhất (ƯCLN) là số lớn nhất trong các ước chung. Có ba cách tìm ƯCLN, bạn chọn cách phù hợp với độ lớn của số.
Cách 1: Liệt kê ước rồi so sánh
Phù hợp với số nhỏ. Ví dụ tìm ƯCLN(12, 18):
- Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.
- Ước chung của 12 và 18 là {1; 2; 3; 6}.
- Số lớn nhất trong tập đó là 6, vậy ƯCLN(12, 18) = 6.
Cách 2: Phân tích ra thừa số nguyên tố
Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, rồi lấy tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất. Ví dụ tìm ƯCLN(24, 36):
- 24 = 2³ × 3; 36 = 2² × 3².
- Thừa số chung là 2 và 3; số mũ nhỏ nhất lần lượt là 2 và 1.
- Vậy ƯCLN(24, 36) = 2² × 3 = 12.
Cách 3: Thuật toán Euclid (chia liên tiếp)
Với số lớn, cách nhanh nhất là lấy số lớn chia số bé, rồi thay số lớn bằng số bé và số bé bằng số dư, lặp đến khi dư bằng 0. Ví dụ tìm ƯCLN(72, 60):
- 72 : 60 được 1, dư 12.
- 60 : 12 được 5, dư 0 → dừng lại.
- Số chia cuối cùng khác 0 là 12, vậy ƯCLN(72, 60) = 12.
Hai số có ƯCLN bằng 1 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau, chẳng hạn 8 và 15 vì Ư(8) = {1; 2; 4; 8} và Ư(15) = {1; 3; 5; 15} chỉ có duy nhất ước chung là 1.
Ước số và số nguyên tố
Số lượng ước chính là căn cứ để phân loại số tự nhiên. Một số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó thì được gọi là số nguyên tố, ví dụ 2, 3, 5, 7, 11, 13. Ngược lại, số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước gọi là hợp số, ví dụ 4, 6, 8, 9. Số 1 chỉ có một ước là chính nó nên không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số; số 0 thì có vô số ước nên cũng không xếp vào hai nhóm này. Riêng số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thêm ước 2 nên chắc chắn là hợp số.
Phân biệt ước số và bội số
Ước và bội là hai khái niệm ngược chiều nhau nhưng luôn xuất hiện cùng lúc, bảng sau giúp bạn không nhầm khi đọc đề.
| Tiêu chí | Ước số | Bội số |
|---|---|---|
| Định nghĩa | b là ước của a khi a chia hết cho b | a là bội của b khi a chia hết cho b |
| Cách tìm | Chia a cho các số từ 1 đến a | Nhân b lần lượt với 0; 1; 2; 3… |
| Số lượng | Hữu hạn | Vô số |
| Độ lớn | Không vượt quá a | Không nhỏ hơn b (trừ bội 0) |
| Ví dụ với 12 và 3 | 3 là ước của 12 | 12 là bội của 3 |
Đi kèm với ƯCLN là bội chung nhỏ nhất (BCNN). Hai đại lượng này liên hệ với nhau qua công thức ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) = a × b, rất tiện để kiểm tra lại kết quả: với a = 12, b = 18 thì 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
Ứng dụng của ước số trong bài toán thực tế
Ước số không chỉ nằm trong sách giáo khoa mà xuất hiện ở nhiều bài toán chia phần bằng nhau.
- Chia quà đều nhau: có 24 chiếc bút và 36 quyển vở, muốn chia thành nhiều phần bằng nhau nhất thì số phần chính là ƯCLN(24, 36) = 12, mỗi phần gồm 2 bút và 3 vở.
- Rút gọn phân số: muốn rút gọn 18/24 về tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN(18, 24) = 6 và được 3/4.
- Cắt vật liệu: cắt hai thanh gỗ dài 60 cm và 72 cm thành các đoạn bằng nhau, dài nhất có thể mà không thừa, thì mỗi đoạn dài ƯCLN(60, 72) = 12 cm.
Bài tập vận dụng có lời giải
- Bài 1: Tìm tất cả các ước của 20. Lời giải: Lần lượt chia 20 cho 1; 2; 4 (dừng ở 4 vì 4 × 5 = 20) ta được các cặp (1; 20), (2; 10), (4; 5). Vậy Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}.
- Bài 2: Số 7 có phải số nguyên tố không? Lời giải: 7 không chia hết cho 2, 3 và 2 × 2 = 4 < 7 < 3 × 3 = 9 nên chỉ cần xét đến 2. Vì 7 chỉ có hai ước là 1 và 7 nên 7 là số nguyên tố.
- Bài 3: Tìm ước chung lớn nhất của 8 và 12. Lời giải: Ư(8) = {1; 2; 4; 8}, Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, ước chung là {1; 2; 4} nên ƯCLN(8, 12) = 4.
- Bài 4: Số 9 là số nguyên tố hay hợp số? Lời giải: 9 chia hết cho 1, 3 và 9 nên Ư(9) = {1; 3; 9}. Có ba ước, nhiều hơn hai, vậy 9 là hợp số.
- Bài 5: Số 48 có bao nhiêu ước? Lời giải: 48 = 2⁴ × 3, số ước là (4 + 1)(1 + 1) = 10 ước, đó là 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48.
- Bài 6: Dùng thuật toán Euclid tìm ƯCLN(48, 18). Lời giải: 48 : 18 được 2 dư 12; 18 : 12 được 1 dư 6; 12 : 6 được 2 dư 0. Số chia cuối khác 0 là 6, vậy ƯCLN(48, 18) = 6.
- Bài 7 (trắc nghiệm): Số nào sau đây là ước của 15? A. 4 — B. 5 — C. 7 — D. 8. Đáp án: B, vì 15 : 5 = 3 chia hết, còn 15 chia cho 4, 7, 8 đều có dư.
Câu hỏi thường gặp về ước số
Ước số là gì?
Là số tự nhiên mà một số khác chia hết cho nó; nếu a chia hết cho b thì b là ước của a.
Cách tìm ước của một số?
Lần lượt chia số đó cho các số từ 1 đến căn bậc hai của nó rồi ghép cặp, số nào chia hết thì cả nó và thương đều là ước.
Ước chung lớn nhất là gì?
Là số lớn nhất trong các ước chung của hai hay nhiều số, ví dụ ƯCLN(12, 18) = 6.
Ư(12) gồm những số nào?
Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, tổng cộng 6 ước.
Số nguyên tố có mấy ước?
Số nguyên tố chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó.
Số 1 có phải là ước của mọi số không?
Đúng, số 1 là ước của mọi số tự nhiên, còn số 0 không phải là ước của bất kỳ số nào.
Làm sao biết một số có bao nhiêu ước mà không cần liệt kê?
Phân tích số đó ra thừa số nguyên tố dạng p₁^m × p₂^n, rồi nhân các số mũ đã cộng thêm 1: số ước bằng (m + 1)(n + 1).
Kết luận
Tóm lại, ước số của a là số mà a chia hết cho nó; ước và bội luôn đi cùng nhau, còn ƯCLN là ước chung lớn nhất của các số. Chỉ cần nhớ mẹo ghép cặp khi liệt kê, công thức đếm ước từ thừa số nguyên tố và thuật toán Euclid, bạn sẽ xử lý gọn hầu hết bài tập chia hết, rút gọn phân số hay chia phần bằng nhau. Để học thêm, mời bạn tham khảo các bài tập hợp số nguyên Z là gì, khái niệm và ứng dụng của số nguyên và công thức tổ hợp, chỉnh hợp trên chuyên mục tin tức của Hoàng Hà Mobile.
