Lập bảng biến thiên là trình bày gọn trong một bảng khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và giới hạn của hàm số, gồm 4 bước: tìm tập xác định, tính đạo hàm y’, tìm các điểm y’ = 0 hoặc không xác định, rồi xét dấu y’ và điền mũi tên lên xuống cho y. Với hàm bậc hai (lớp 10) có thể lập bảng ngay từ tọa độ đỉnh mà không cần đạo hàm. Bài viết có 4 ví dụ lập bảng biến thiên chi tiết cho các dạng hàm hay gặp.
Bảng biến thiên là gì?
Bảng biến thiên là bảng tóm tắt sự tăng, giảm của hàm số trên từng khoảng của tập xác định, kèm các giá trị đặc biệt như cực đại, cực tiểu và giới hạn. Nhìn bảng biến thiên, bạn biết ngay hàm đồng biến hay nghịch biến ở đâu, đạt cực trị tại điểm nào mà không cần vẽ đồ thị.
Một bảng biến thiên thường có ba dòng:
- Dòng x: các mốc quan trọng theo thứ tự tăng dần: −∞, điểm tới hạn, điểm không xác định, +∞.
- Dòng y’: dấu của đạo hàm trên từng khoảng (+ hoặc −), ghi 0 tại điểm y’ = 0, ghi dấu || tại điểm không xác định.
- Dòng y: mũi tên đi lên (↗) nếu y’ > 0, đi xuống (↘) nếu y’ < 0, kèm giá trị của hàm tại các mốc và giới hạn.
Trong chương trình mới, bảng biến thiên của hàm bậc hai được học ở lớp 10; cách dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu học ở lớp 12. Nếu chưa vững phần đạo hàm, xem lại bảng công thức đạo hàm.
Các bước lập bảng biến thiên của hàm số
Cách lập bảng biến thiên của hàm số gồm 4 bước theo thứ tự: tìm tập xác định, tính đạo hàm và nghiệm của y’, tính giới hạn, rồi điền bảng và kết luận. Làm đủ 4 bước giúp tránh sót khoảng hoặc sai chiều mũi tên.
- Tìm tập xác định D. Với phân thức, loại các giá trị làm mẫu bằng 0; với căn bậc chẵn, biểu thức trong căn phải không âm.
- Tính y’ và giải y’ = 0. Ghi thêm các điểm thuộc D mà y’ không xác định.
- Tính giới hạn của y khi x → −∞, x → +∞ và khi x tiến về các điểm không thuộc D.
- Xét dấu y’ trên từng khoảng bằng cách thử một giá trị bất kỳ trong khoảng, hoặc dùng quy tắc dấu của tam thức bậc hai.
- Điền bảng và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu.
Lập bảng biến thiên hàm số bậc hai
Với hàm số bậc hai y = ax² + bx + c, bảng biến thiên được lập từ tọa độ đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a): nếu a > 0, hàm nghịch biến trước đỉnh và đồng biến sau đỉnh; nếu a < 0 thì ngược lại.
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = x² − 4x + 3.
- a = 1 > 0, hoành độ đỉnh x = −b/(2a) = 4/2 = 2.
- Tung độ đỉnh y(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | +∞ | ↘ | −1 | ↗ | +∞ |
Kết luận: hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞), đạt giá trị nhỏ nhất bằng −1 tại x = 2. Xem thêm về đỉnh và trục đối xứng trong bài hàm số bậc 2.
Lập bảng biến thiên hàm số bậc ba
Với hàm bậc ba, tính y’ (là tam thức bậc hai), tìm nghiệm của y’ = 0, xét dấu y’ rồi điền bảng; nếu y’ có hai nghiệm phân biệt, hàm có một cực đại và một cực tiểu.
Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên của hàm số y = x³ − 3x² + 2.
- Tập xác định D = ℝ.
- y’ = 3x² − 6x = 3x(x − 2); y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
- y(0) = 2; y(2) = 8 − 12 + 2 = −2.
- Giới hạn: x → −∞ thì y → −∞; x → +∞ thì y → +∞.
- Dấu y’: dương trên (−∞; 0), âm trên (0; 2), dương trên (2; +∞).
| x | −∞ | 0 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | − | 0 | + | ||
| y | −∞ | ↗ | 2 | ↘ | −2 | ↗ | +∞ |
Kết luận: hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2); đạt cực đại y = 2 tại x = 0 và cực tiểu y = −2 tại x = 2.
Lập bảng biến thiên hàm trùng phương (bậc bốn)
Hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c có y’ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b); nếu a và b trái dấu, y’ có ba nghiệm và bảng biến thiên có ba cực trị với dạng chữ W (a > 0) hoặc chữ M (a < 0).
Ví dụ 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y = x⁴ − 2x² + 1.
- y’ = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1); y’ = 0 ⇔ x = −1, x = 0, x = 1.
- y(−1) = 0; y(0) = 1; y(1) = 0. Khi x → ±∞ thì y → +∞.
- Dấu y’: âm trên (−∞; −1), dương trên (−1; 0), âm trên (0; 1), dương trên (1; +∞).
| x | −∞ | −1 | 0 | 1 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y’ | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + | ||
| y | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | 1 | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Kết luận: hàm đạt cực tiểu y = 0 tại x = ±1 và cực đại y = 1 tại x = 0.
Lập bảng biến thiên hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất
Với hàm y = (ax + b)/(cx + d), đạo hàm y’ = (ad − bc)/(cx + d)² không đổi dấu, nên hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định; bảng biến thiên cần ghi thêm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của hàm số y = (2x + 1)/(x − 1).
- Tập xác định D = ℝ \ {1}.
- y’ = (2·(−1) − 1·1)/(x − 1)² = −3/(x − 1)² < 0 với mọi x ≠ 1.
- Khi x → ±∞, y → 2 (tiệm cận ngang y = 2). Khi x → 1⁻, y → −∞; khi x → 1⁺, y → +∞ (tiệm cận đứng x = 1).
| x | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | − | || | − | ||
| y | 2 | ↘ −∞ | || | +∞ ↘ | 2 |
Kết luận: hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞), không có cực trị. Lưu ý không viết “nghịch biến trên ℝ \ {1}”, vì hàm chỉ nghịch biến trên từng khoảng riêng biệt.
Đọc bảng biến thiên để trả lời câu hỏi trắc nghiệm
Từ bảng biến thiên, bạn đọc được 4 loại thông tin hay gặp trong đề thi: khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trên một đoạn và số nghiệm của phương trình f(x) = m.
| Câu hỏi | Cách đọc từ bảng |
|---|---|
| Hàm đồng biến trên khoảng nào? | Các khoảng có mũi tên đi lên (y’ mang dấu +) |
| Điểm cực đại, cực tiểu? | Nơi mũi tên đổi từ lên sang xuống (cực đại) hoặc xuống sang lên (cực tiểu) |
| Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b]? | So sánh giá trị tại cực trị nằm trong đoạn và tại hai đầu mút |
| Phương trình f(x) = m có mấy nghiệm? | Kẻ đường ngang y = m, đếm số lần cắt các mũi tên |
Ví dụ với bảng ở Ví dụ 2, phương trình x³ − 3x² + 2 = m có 3 nghiệm phân biệt khi −2 < m < 2. Muốn ôn kỹ hơn phần đồng biến, nghịch biến, xem bài tính đơn điệu của hàm số.
Lỗi thường gặp khi lập bảng biến thiên
Các lỗi hay mất điểm nhất là quên tập xác định, xét dấu y’ sai ở khoảng có nghiệm kép, dùng dấu hợp “∪” khi kết luận khoảng đơn điệu và quên ghi giới hạn tại tiệm cận đứng.
- Nghiệm kép không đổi dấu: ví dụ y’ = (x − 1)² thì y’ không đổi dấu khi qua x = 1, nên x = 1 không phải cực trị.
- Viết khoảng bằng dấu ∪: kết luận “đồng biến trên (−∞; 0) và (2; +∞)”, không viết “(−∞; 0) ∪ (2; +∞)”.
- Sai thứ tự mốc: các giá trị trên dòng x phải xếp tăng dần.
- Thiếu giới hạn: bảng của hàm phân thức phải có giới hạn ở hai phía của tiệm cận đứng.
Câu hỏi thường gặp về cách lập bảng biến thiên
Lập bảng biến thiên gồm mấy bước?
Gồm 4 bước: tìm tập xác định, tính đạo hàm và nghiệm của y’, tính giới hạn, rồi xét dấu y’ để điền bảng và kết luận.
Lập bảng biến thiên lớp 10 có cần đạo hàm không?
Không. Với hàm bậc hai ở lớp 10, bạn lập bảng dựa vào hệ số a và tọa độ đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a).
Làm sao biết mũi tên đi lên hay đi xuống?
Trên khoảng y’ mang dấu +, mũi tên đi lên (hàm đồng biến); y’ mang dấu −, mũi tên đi xuống (hàm nghịch biến).
Khi nào một điểm là cực trị trong bảng biến thiên?
Khi y’ đổi dấu qua điểm đó: từ + sang − là cực đại, từ − sang + là cực tiểu. Nếu y’ bằng 0 nhưng không đổi dấu thì không phải cực trị.
Bảng biến thiên hàm phân thức có gì khác?
Có thêm dấu hai gạch tại điểm hàm không xác định và phải ghi giới hạn hai phía tại tiệm cận đứng, giới hạn tại vô cực ứng với tiệm cận ngang.
Có công cụ nào vẽ bảng biến thiên online không?
Có một số công cụ vẽ bảng biến thiên online, nhưng bạn vẫn nên tự lập để hiểu bài; dùng công cụ để kiểm tra lại kết quả sau khi làm.
Kết luận
Lập bảng biến thiên chỉ cần nhớ 4 bước: tập xác định, đạo hàm và nghiệm, giới hạn, xét dấu và điền mũi tên. Hàm bậc hai lập từ tọa độ đỉnh, hàm bậc ba và trùng phương dựa vào nghiệm của y’, còn hàm phân thức cần thêm tiệm cận. Luyện qua 4 ví dụ trên và đọc bảng để trả lời các câu hỏi về đơn điệu, cực trị, số nghiệm là bạn đủ tự tin với dạng bài này.
Xem thêm:
