Nếu các bạn học sinh không biết hợp số là gì và đang bối rối trong việc phân tích từ một số sang một thừa số nguyên tố thì các bạn nên tham khảo bài viết này. Bài viết này sẽ giải đáp tất cả kiến thức liên quan đến hợp số cùng một số bài tập mẫu. Chắc chắn các bạn học sinh sẽ biết cách vận dụng vào các bài toán lớp 6 của mình.
Số nguyên tố và hợp số là gì?
Khái niệm số nguyên tố
Số nguyên tố là các số thuộc tập hợp số tự nhiên lớn hơn số 1 và có hai ước số suy nhất là chính nó và 1. Ví dụ về các số nguyên tố hiện nay là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19.
Hợp số là gì?
Hợp số là các số tự nhiên lớn hơn số 1 có nhiều hơn hai ước số.
Ví dụ:
- Số 4 là một hợp số vì có các ước số là 1, 2 và 4.
- Số 6 là một hợp số vì có các ước số là 1, 2, 3 và 6.
Lưu ý:
- Số 1 không phải là hợp số.
- Mọi số tự nhiên lớn hơn số 1 đều có tối thiểu 1 ước số.
- Số 2 là một số nguyên tố bé nhất và là duy nhất trong các số nguyên tố là số chẵn. Những số nguyên tố khác đều là các số lẻ.
- Để xem một số tự nhiên lớn hơn số 1 có phải là một số nguyên tố không thì bạn cần xem xét những tập ước của số đó.
- Chẳng hạn các số như số 2, 5, 11, 17, 23… là các số nguyên tố và hiện nay có vô số số nguyên tố khác.
Số nguyên tố có tính chất gì?
Khi đã tìm hiểu hợp số là gì, sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một vài tính chất của số nguyên tố mà các bạn có thể tham khảo:
- Số nguyên tố không có hạn.
- Nếu số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p, thì q bằng p.
- Cho tích a×b×c chia hết cho số nguyên tố p, thì ít nhất một thừa số của a×b×c cũng chia hết cho p.
- Nếu aaa và bbb đều không chia hết cho số nguyên tố p, thì tích a×b không chia hết cho p.
- Nếu một số A là hợp số thì A sẽ có ít nhất một ước số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của A.
Bảng tổng hợp số nguyên tố có giá trị nhỏ hơn 100
Khi đã tìm hiểu số nguyên tố là gì và hợp số là gì? Chắc chắn nhiều bạn sẽ thắc mắc vậy có những số nguyên tố nào nhỏ hơn 100? Theo thống kê thì hiện nay đang có 25 số nguyên tố có giá trị nhỏ hơn số 100. Còn những số còn lại sẽ thuộc tập hợp hợp số từ 1 tới 100. Sau đây bảng tổng hợp các số nguyên tố từ 1 đến 100:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
| 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
Phương pháp phân tích từ một số ra các thừa số nguyên tố dễ dàng
Sau khi đã tìm hiểu hợp số là gì và số nguyên tố là gì, chúng ta sẽ tìm hiểu cách phân tích từ một số ra các thừa số nguyên tố. Phân tích 1 số lớn hơn số 1 (số tự nhiên) ra một thừa số nguyên tố là quá trình chia số đó thành những thừa số nguyên tố. Thường sẽ có hai phương pháp để các bạn phân tích như sau:
Phương pháp rẽ nhánh
Đề 1: Hãy phân tích số 12 ra một thừa số nguyên tố.
Cách giải:
- Bước 1: Tìm ước của số nguyên tố 12, đó là số 2. Sau đó hãy viết số 12 dưới dạng tích của số 2 với thừa số khác, ví dụ như này: 12 = 2 x 6. Tiếp đó bạn vẽ nhánh từ số 12 cho 2 thừa số là số 2 và số 6.
- Bước 2: Tìm ước số nguyên tố tiếp theo của 6, đó là số 2. Tiếp đó hãy viết ra số 6 dưới dạng tích của số 2 với thừa số khác, ví dụ là: 6 = 2 * 3. Sau đó bạn sẽ vẽ tiếp 2 nhánh từ số 6 là 2 thừa số 2 và số 3.
- Bước 3: Khi đó, những thừa số 2 và số 3 đều là những số nguyên tố độc lập nên quá trình phân tích nên dừng lại. Sau đó bạn lấy tích những thừa số nằm ở cuối mỗi nhánh và ta được: 12 = 2 * 2 * 3
Kết luận là chúng ta phân tích số 12 ra thừa số nguyên tố là 2 * 2 * 3.
Đề 2: Hãy phân tích số 72 sang thừa số nguyên tố theo phương pháp rẽ nhánh:
Cách giải:
Ta có ước số nguyên tố của số 72 là số 2. Vậy ta có 72 = 2 x 36. Sau đó, ta tiếp tục phân tích số 36 = 2 x 18 = 18 = 2 x 9 = 9 = 3 x 3.
Vậy ta có thể kết luận là phân tích số 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (Viết gọn nhất là 72 = 2^3 x 3^2).
Phương pháp phân tích dựa trên cột dọc
Định nghĩa hợp số là gì có thể áp dụng vào việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố dựa trên cột dọc:
Đề bài 1: Hãy phân tích số 12 sang thừa số nguyên tố với cột dọc:
Để phân tích được số 12 thành các thừa số nguyên tố thì ta bắt đầu với ước số nhỏ nhất:
- Lấy 12 chia cho 2, được 6.
- Lấy 6 tiếp tục chia cho 2, được 3.
- Cuối cùng lấy 3 chia cho 3, được 1.
Vậy, số 12 có thể được biểu diễn dưới dạng thừa số nguyên tố như sau: 12 = 2 × 2 × 3.
Đề bài 2: Hãy phân tích số 72 sang thừa số nguyên tố với phương pháp cột dọc
Để phân tích số 72 thành các thừa số nguyên tố, ta thực hiện theo các bước sau:
- Lấy 72 chia cho 2, được 36.
- Lấy 36 tiếp tục chia cho 2, được 18.
- Lấy 18 chia cho 2 lần nữa, được 9.
- Lấy 9 chia cho 3, được 3.
- Cuối cùng, lấy 3 chia cho 3, được 1.
Như vậy, số 72 có thể được biểu diễn bằng thừa số nguyên tố như sau: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
Lưu ý:
- Bạn chỉ nên chia từng số cho ước số nguyên tố có giá trị nhỏ nhất của nó.
- Tiếp tục chia đến khi nhận được thương là số 1 thì mới dừng lại.
Một số dạng bài toán mẫu về hợp số và số nguyên tố
Việc tìm hiểu rõ hợp số là gì, số nguyên tố là gì có thể áp dụng vào việc giải những dạng toán liên quan. Các bạn có thể xem một số bài tập mẫu như sau:
Bài 1
Hãy phân tích những số sau sang thừa số nguyên tố: 225; 1800; 3060; 1050.
Cách giải:
Số 225 = 5 * 5 * 3 * 3
= 3^2 * 5^2.
Số 1800 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 5
= 2^3 * 3^2 * 5^2.
Số 3060 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 17
= 2^2 * 3^2 * 5 * 17.
Số 1050 = 2 * 3 * 5 * 5 * 7
= 2 * 3 * 5^2 *7.
Bài 2
Hãy phân tích số 63 thành các thừa số nguyên tố và tìm tập hợp ước số của nó.
Cách giải:
Trước hết, ta phân tích 63 thành thừa số nguyên tố: 63 = 3 x 3 x 7 = 3^2 x 7.
Bây giờ, ta xác định các ước số của 63: 63 = 1 x 63, 63 = 3 x 21, 63 = 7 x 9.
Vậy có thể kết luận tập hợp các ước số của 63 là {1, 3, 7, 9, 21, 63}.
Bài 3
Các tổng số và hiệu số sau là hợp số hay số nguyên tố:
- 2125 + 3150
- 2532 + 5163
- 21 x 27 x 25 + 21 x 19 x 23
- 15 x 37 x 19 – 225
Cách giải:
- Tính tổng 2125 + 3150 = 5275. Vậy tổng này sẽ chia hết cho số 5 và là hợp số.
- Tính tổng 2532 + 5163 = 7695. Vậy tổng này sẽ chia hết cho số 5 và là hợp số.
- Tính tổng 21 x 19 x 23 + 21 x 27 x 25 = 23352. Vậy tổng này sẽ chia hết cho số 21 và đó là hợp số.
- Tính hiệu 15 x 37 x 19 – 225 = 10320. Vậy hiệu này sẽ chia hết cho số 15 nên cũng là một hợp số.
Bài tập tự luyện về hợp số và số nguyên tố
Khi đã biết khái niệm hợp số là gì, số nguyên tố là gì, các bạn có thể tự luyện những bài tập liên quan như sau:
Bài 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
- 36
- 54
- 100
- 143
- 2017
Bài 2: Kiểm tra xem số nào trong các số sau là số nguyên tố:
- 73
- 107
- 159
- 221
- 257
Bài 3: Tìm số nguyên tố lớn nhất và số nguyên tố nhỏ nhất trong các ước số của 198.
Bài 4: Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 30.
Bài 5: Cho một số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng số đó hoặc là số nguyên tố hoặc là tích của hai số nguyên tố.
Gợi ý giải bài tập:
Bài 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
- 36 = 2^2 * 3^2
- 54 = 2 * 3^3
- 100 = 2^2 * 5^2
- 143 = 11 * 13
- 2017 = 23 * 87
Bài 2: Kiểm tra xem số nào trong các số sau là số nguyên tố:
- 73 là số nguyên tố
- 107 là số nguyên tố
- 159 là số nguyên tố
- 221 là hợp số (221 = 13 * 17)
- 257 là số nguyên tố.
Bài 3: Tìm số nguyên tố lớn nhất và số nguyên tố nhỏ nhất trong các ước số của 198.
- Ước số của 198: 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 44, 66, 99, 198
- Số nguyên tố nhỏ nhất: 2
- Số nguyên tố lớn nhất: 99
Bài 4: Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 30.
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Bài 5: Cho một số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng số đó hoặc là số nguyên tố hoặc là tích của hai số nguyên tố.
Chứng minh:
Gọi n là một số nguyên dương bất kỳ.
Trường hợp 1: n là số nguyên tố.
=> n không thể phân tích thành tích của hai số nguyên tố nào khác.
Trường hợp 2: n là hợp số.
=> n có thể phân tích thành tích của hai số nguyên tố a và b (a, b > 1).
Vậy, n hoặc là số nguyên tố hoặc là tích của hai số nguyên tố.
Mẹo giúp các bạn học sinh giải nhanh bài toán liên quan đến hợp số và số nguyên tố
Bên cạnh việc tìm hiểu hợp số là gì, dưới đây là một số mẹo giúp các bạn học sinh giải nhanh các bài toán về hợp số và số nguyên tố:
Nhận biết số nguyên tố nhỏ
Học thuộc các số nguyên tố nhỏ (dưới 100) để có thể nhận biết nhanh chóng trong các bài toán. Khi gặp những bài toán đơn giản, mẹo này có thể giúp các bạn giải toán tiết kiệm thời gian.
Kiểm tra chia hết nhanh
Áp dụng các quy tắc chia hết để kiểm tra một số có phải là hợp số không:
- Chia hết cho 2: Số chẵn.
- Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Chia hết cho 5: Số tận cùng là 0 hoặc 5.
- Chia hết cho 7, 11, 13: Sử dụng các phép thử đặc biệt hoặc máy tính bỏ túi.
Sử dụng phương pháp phân tích số
Khi gặp một số lớn, hãy thử phân tích nó ra thừa số nguyên tố bằng cách chia cho các số nguyên tố nhỏ dần từ 2 trở đi. Sau đó bạn phân tích dần dần để đảm bảo tính chính xác cho kết quả.
Phân tích các biểu thức
Không chỉ tìm hiểu hợp số là gì, bạn có thể tìm hiểu thêm mẹo phân tích các biểu thức. Trong các bài toán cộng, trừ, nhân, bạn hãy phân tích biểu thức để đơn giản hóa và xác định tính nguyên tố/hợp số của kết quả. Bạn cần nhớ thứ tự phân tích để đảm bảo đem lại kết quả chính xác nhất.
Sử dụng bảng số nguyên tố
Trong quá trình giải toán, bạn có thể dùng bảng số nguyên tố đã được chuẩn bị sẵn để tra cứu nhanh khi gặp các số lớn. Điều này sẽ giúp bạn giải ra kết quả chính xác và tiết kiệm thời gian giải toán.
Luyện tập thường xuyên
Việc thực hành giải nhiều bài tập về số nguyên tố và hợp số để quen thuộc với các dạng bài và cách giải nhanh sẽ giúp các bạn học sinh học toán tốt hơn. Ngoài ra, việc luyện tập giải dạng toán này sẽ giúp bạn gia tăng phản xạ nhanh hơn.
Sử dụng mẹo đơn giản hóa
Đôi khi, việc nhóm các số hoặc chia nhỏ các số trong bài toán có thể giúp đơn giản hóa quá trình giải toán. Cách này có thể áp dụng cho dạng toán phân tích số nguyên tố ở trên.
Áp dụng những mẹo giải toán này sẽ giúp các bạn học sinh giải các bài toán liên quan đến hợp số và số nguyên tố một cách nhanh chóng, hiệu quả hơn.
Qua bài viết trên, các bạn đã hiểu hợp số là gì và cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố. Các bạn học sinh cần luyện tập phân tích thường xuyên dựa vào những mẹo ở trên để học tốt môn toán lớp 6 và thực hành tốt các bài tập trên lớp hoặc trong các kỳ thi quan trọng hiện nay.
Tham khảo bài viết liên quan:
