Hệ thức lượng trong tam giác là tập hợp các công thức thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh và các góc của tam giác, quan trọng nhất là định lý cosin, định lý sin và các công thức tính diện tích. Đây là kiến thức trọng tâm của Hình học lớp 10. Bài viết này trình bày hệ thức lượng trong tam giác gồm định lý cosin, định lý sin, công thức diện tích, hệ thức lượng trong tam giác vuông kèm ví dụ và bài tập có lời giải.
Hệ thức lượng trong tam giác là gì?
Hệ thức lượng trong tam giác là các công thức liên hệ giữa độ dài các cạnh, số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác. Nhờ các hệ thức này, ta có thể tính được cạnh khi biết góc, tính góc khi biết cạnh, hoặc tính diện tích tam giác trong nhiều trường hợp khác nhau.
Định lý cosin
Trong tam giác ABC với các cạnh a, b, c đối diện các góc A, B, C, định lý cosin phát biểu:
a² = b² + c² − 2bc·cosA
Tương tự: b² = a² + c² − 2ac·cosB và c² = a² + b² − 2ab·cosC. Định lý cosin dùng để tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc tính góc khi biết ba cạnh (suy ra cosA = (b² + c² − a²)/(2bc)).
Định lý sin
Định lý sin liên hệ giữa cạnh và góc đối diện qua bán kính R của đường tròn ngoại tiếp:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
Định lý sin dùng để tính cạnh hoặc góc còn lại khi đã biết một cặp cạnh – góc đối diện, và để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Công thức tính diện tích tam giác
Từ hệ thức lượng, diện tích tam giác có nhiều cách tính:
- S = ½·a·b·sinC (nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa).
- S = abc / (4R), với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
- S = p·r, với p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp.
- Công thức Heron: S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)], với p = (a + b + c)/2.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Với tam giác vuông tại A, đường cao AH, các hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền, ta có các hệ thức: b² = a·b’ và c² = a·c’ (cạnh góc vuông bình phương bằng cạnh huyền nhân hình chiếu); h² = b’·c’ (đường cao bình phương bằng tích hai hình chiếu); a·h = b·c; và 1/h² = 1/b² + 1/c². Đây là những hệ thức riêng, rất hữu ích cho tam giác vuông.
Ví dụ về hệ thức lượng
- Ví dụ 1: Tam giác có b = 5, c = 8, góc A = 60°. Cạnh a = √(5² + 8² − 2·5·8·cos60°) = √(25 + 64 − 40) = √49 = 7.
- Ví dụ 2: Tam giác có a = 6, góc A = 30°. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a/(2sinA) = 6/(2·0,5) = 6.
Bài tập vận dụng có lời giải
- Bài 1: Tam giác có ba cạnh a = 7, b = 8, c = 5. Tính cosA. Lời giải: cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = (64 + 25 − 49)/(2·8·5) = 40/80 = 0,5, nên A = 60°.
- Bài 2: Tam giác có a = 4, b = 5, c = 6. Tính diện tích bằng công thức Heron. Lời giải: p = (4 + 5 + 6)/2 = 7,5; S = √[7,5·3,5·2,5·1,5] ≈ √98,44 ≈ 9,92.
- Bài 3: Tam giác có hai cạnh 3 và 4, góc xen giữa 90°. Tính diện tích. Lời giải: S = ½·3·4·sin90° = ½·3·4·1 = 6.
- Bài 4: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 và 8. Tính đường cao ứng với cạnh huyền. Lời giải: cạnh huyền a = √(36 + 64) = 10; từ a·h = b·c suy ra h = 6·8/10 = 4,8.
Lưu ý khi áp dụng hệ thức lượng
Khi giải toán tam giác, cần chọn đúng hệ thức phù hợp với dữ kiện: nếu biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa, dùng định lý cosin; nếu biết một cạnh cùng góc đối diện và một yếu tố nữa, dùng định lý sin. Luôn chú ý đơn vị góc (độ hay radian) khi tính giá trị lượng giác và kiểm tra điều kiện tam giác (tổng hai cạnh phải lớn hơn cạnh còn lại). Với tam giác vuông, có thể dùng trực tiếp các hệ thức lượng riêng để tính nhanh hơn thay vì áp dụng định lý cosin.
Câu hỏi thường gặp về hệ thức lượng trong tam giác
Hệ thức lượng trong tam giác là gì?
Là các công thức liên hệ giữa cạnh, góc và các yếu tố của tam giác, gồm định lý cosin, sin và công thức diện tích.
Định lý cosin phát biểu thế nào?
a² = b² + c² − 2bc·cosA (và các công thức tương tự cho b, c).
Định lý sin là gì?
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Công thức Heron tính diện tích thế nào?
S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)], với p là nửa chu vi tam giác.
Khi nào dùng định lý cosin, khi nào dùng định lý sin?
Dùng cosin khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc ba cạnh; dùng sin khi biết cặp cạnh – góc đối diện.
Kết luận
Tóm lại, hệ thức lượng trong tam giác gồm định lý cosin, định lý sin và các công thức diện tích, liên hệ chặt chẽ giữa cạnh và góc. Nắm vững các hệ thức này giúp bạn giải hầu hết bài toán về tam giác. Để học thêm, mời bạn tham khảo các bài cách tính diện tích tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác và cách tính diện tích tam giác đều trên chuyên mục tin tức của Hoàng Hà Mobile.
