Hằng đẳng thức là những công thức toán học được sử dụng thường xuyên, giúp ta giải toán nhanh chóng và chính xác hơn. Trong chương trình toán học THCS, có 7 đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò vô cùng quan trọng, được xem là “chìa khóa” để chinh phục môn đại số và 7 đẳng thức này bao gồm:
- Bình phương của một hiệu
- Bình phương của một tổng
- Hiệu hai bình phương
- Lập phương của một tổng
- Lập phương của một hiệu
- Tổng hai lập phương
- Hiệu hai lập phương
Trong bài viết này, chúng ta cùng khám phá chi tiết về từng hằng đẳng thức bao gồm các công thức, cách chứng minh, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng. Qua đó, bạn sẽ nắm vững kiến thức và có thể sử dụng thành thạo các đẳng thức này trong quá trình học tập.
Hằng đẳng thức là gì?
Trong toán học, hằng đẳng thức là một đẳng thức (phương trình có hai vế bằng nhau) luôn đúng với mọi giá trị của các biến trong đó. Chúng được xem như những “công thức vàng” giúp đơn giản hóa việc tính toán, khai triển và phân tích các biểu thức đại số phức tạp.
Tại sao 7 hằng đẳng thức lại “đáng nhớ”?
Nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình Toán lớp 8 là chìa khóa giúp bạn:
- Giải toán nhanh hơn: Áp dụng công thức để tính nhẩm, rút gọn biểu thức một cách hiệu quả.
- Phân tích đa thức thành nhân tử: Đây là một kỹ năng nền tảng để giải phương trình, bất phương trình và nhiều bài toán phức tạp khác.
- Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức: Biến đổi các vế của biểu thức về dạng quen thuộc.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (GTLN, GTNN): Đưa biểu thức về dạng bình phương của một tổng/hiệu cộng với một hằng số.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Trong danh sách các công thức toán học cần ghi nhớ thì 7 hằng đẳng thức chính là một trong những quy tắc mà chúng ta cần nằm lòng. Với những bài toán khó, những bài toán với biểu thức dài và biến đổi thì những đẳng thức này sẽ giúp chúng ta gỡ rối, từ đó có thể khiến độ khó giảm đi đôi chút và chúng ta có thể giải quyết những bài toán một cách dễ dàng hơn. Qua những nội dung chi tiết về từng đẳng thức trong nội dung tiếp theo đây, hãy ghi chép và thực hiện những bài tập vận dụng kèm theo để có thể nắm chắc 7 đẳng thức trong tay nhé.
Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu
1. Công thức HĐT bình phương của một hiệu:
Bình phương của một hiệu hai số a và b được viết là: (a – b)² = a² – 2ab + b²
2. Cách chứng minh HĐT bình phương của một hiệu
Cách 1: Sử dụng khai triển trực tiếp
(a – b)² = (a – b)(a – b)
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²
Cách 2: Sử dụng hình vuông
Vẽ một hình vuông cạnh (a – b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, 1 hình vuông lớn cạnh a và 3 hình vuông nhỏ cạnh b.
Diện tích hình vuông lớn là: (a – b)²
Diện tích 4 hình vuông nhỏ là: a² + b² + b² + b²
Suy ra: (a – b)² = a² + b² + b² + b² – a²
= a² – 2ab + b²
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT bình phương của một hiệu
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)² – (x – 3)²
Giải:
(x – 2)² – (x – 3)² = (x² – 4x + 4) – (x² – 6x + 9)
= x² – 4x + 4 – x² + 6x – 9
= 2x – 5
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)² ≥ 0
Giải:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
= a² – 2ab + b² + 2ab – b²
= (a – b)² + 2ab – b²
Vì (a – b)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a, b.
Do đó, (a – b)² + 2ab – b² ≥ 0
Suy ra: (a – b)² ≥ 0
Bài toán 3: Tìm giá trị của x để biểu thức: Q = x² – 8x + 17 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Q = x² – 8x + 17
= (x² – 8x + 16) + 1
= (x – 4)² + 1
Vì (x – 4)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.
Do đó, Q = (x – 4)² + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.
Dấu “=” xảy ra khi x = 4.
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 khi x = 4.
Hằng đẳng thức bình phương của một tổng
1. Công thức HĐT bình phương của một tổng:
Bình phương của một tổng hai số a và b được viết là: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Cách chứng minh HĐT bình phương của một tổng
Cách 1: Sử dụng khai triển trực tiếp
(a + b)² = (a + b)(a + b)
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Cách 2: Sử dụng hình vuông
Vẽ một hình vuông cạnh (a + b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, mỗi hình vuông cạnh a và b.
Diện tích hình vuông lớn là: (a + b)²
Diện tích 4 hình vuông nhỏ là: a² + a² + b² + b²
Suy ra: (a + b)² = a² + a² + b² + b² = a² + 2ab + b²
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT bình phương của một tổng
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)² – (x – 2)²
Giải:
(x + 3)² – (x – 2)² = (x² + 6x + 9) – (x² – 4x + 4)
= x² + 6x + 9 – x² + 4x – 4
= 10x + 5
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b)² ≥ 4ab
Giải:
(a + b)² – 4ab = a² + 2ab + b² – 4ab
= a² – 2ab + b²
= (a – b)² ≥ 0
Vì (a – b)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a, b.
Do đó, (a + b)² – 4ab ≥ 0
Suy ra: (a + b)² ≥ 4ab
Bài toán 3: Tìm giá trị của x để biểu thức: P = x² – 4x + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
P = x² – 4x + 5
= (x² – 4x + 4) + 1
= (x – 2)² + 1
Vì (x – 2)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.
Do đó, P = (x – 2)² + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.
Dấu “=” xảy ra khi x = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = 2.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
1. Công thức HĐT hiệu hai bình phương:
Hiệu hai bình phương của hai số a và b được viết là: a² – b² = (a – b)(a + b)
2. Cách chứng minh HĐT hiệu hai bình phương
Cách sử dụng khai triển trực tiếp:
a² – b² = (a + b)(a – b)
= a² + ab – ab – b²
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT hiệu hai bình phương
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 5)² – (x – 2)²
Giải:
(x + 5)² – (x – 2)² = ((x + 5) – (x – 2))((x + 5) + (x – 2))
= (x + 5 – x + 2)(x + 5 + x – 2)
= 7(2x + 3)
= 14x + 21
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b)² – (a – b)² = 4ab
Giải:
(a + b)² – (a – b)² = ((a + b) – (a – b))((a + b) + (a – b))
= (a² + 2ab + b²) – (a² – 2ab + b²)
= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²
= 4ab
Bài toán 3: Tính 56.64
Giải: Ta có 56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 60² – 4² = 3600 – 16 = 3584
Bài toán 4: Tính (x – 2)(x + 2)
Giải: (x – 2)(x + 2) = x² – 2² = x² – 4
Hằng đẳng thức lập phương của một tổng
1. Công thức HĐT lập phương của một tổng:
Lập phương của một tổng hai số a và b được viết là: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
2. Cách chứng minh HĐT lập phương của một tổng
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)
= a³ + a²b + a²b + ab² + ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT lập phương của một tổng
Bài toán 1:
Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)³ + (x + 1)³
Giải:
(x – 2)³ + (x + 1)³ = (x³ – 6x² + 12x – 8) + (x³ + 3x² + 3x + 1)
= x³ – 6x² + 12x – 8 + x³ + 3x² + 3x + 1
= 2x³ – 3x² + 15x – 7
Bài toán 2: Chứng minh rằng:
(a + b)³ – a³ – b³ = 3a²b + 3ab²
Giải:
(a + b)³ – a³ – b³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – a³ – b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ – b³
= 3a²b + 3ab²
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức Q = x² – 8x + 17.
Giải:
Để tìm GTNN, ta sẽ biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một hiệu:
Q = x² – 8x + 17
= (x² – 2.x.4 + 4²) + 1 (Tách 17 thành 16 + 1 để tạo hằng đẳng thức)
= (x – 4)² + 1
Vì (x – 4)² ≥ 0 với mọi giá trị của x.
Suy ra: (x – 4)² + 1 ≥ 1 với mọi giá trị của x.
Vậy GTNN của Q là 1. Dấu “=” xảy ra khi x – 4 = 0, tức là x = 4.
Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
1. Công thức HĐT lập phương của một hiệu:
Công thức:
Lập phương của một hiệu hai số a và b được viết là: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
2. Cách chứng minh HĐT lập phương của một hiệu
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
(a – b)³ = (a – b)(a – b)(a – b)
= a³ – ab – ab + b² – ab – b² – b³
= a³ – 3a²b + 3ab² – b³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT lập phương của một hiệu
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)³ – (x – 2)³
Giải:
(x + 3)³ – (x – 2)³ = (x³ + 9x² + 27x + 27) – (x³ – 6x² + 12x – 8)
= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² – 12x + 8
= 15x² + 15x + 35
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)³ + a³ – b³ = 3a²b – 3ab²
Giải:
(a – b)³ + a³ – b³ = (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) + a³ – b³
= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + a³ – b³
= 3a²b – 3ab²
Hằng đẳng thức tổng hai lập phương
1. Công thức HĐT tổng hai lập phương:
Công thức:
Tổng hai lập phương của hai số a và b được viết là: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
2. Cách chứng minh HĐT tổng hai lập phương
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
= a³ + a²b – ab² + ab² + b³
= a³ + b³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT tổng hai lập phương
Bài toán 1:
Tính giá trị của biểu thức: (x – 1)³ + (x + 2)³
Giải:
(x – 1)³ + (x + 2)³ = (x³ – 3x² + 3x – 1) + (x³ + 6x² + 12x + 8)
= x³ – 3x² + 3x – 1 + x³ + 6x² + 12x + 8
= 2x³ + 3x² + 15x + 7
Bài 2: Chứng minh rằng: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Giải:
Ta có thể chứng minh hằng đẳng thức bằng cách khai triển vế phải (VP):
VP = (a + b)(a² – ab + b²)
= a(a² – ab + b²) + b(a² – ab + b²)
= (a³ – a²b + ab²) + (a²b – ab² + b³)
= a³ – a²b + a²b + ab² – ab² + b³
= a³ + b³ = VT (Vế trái)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương
1. Công thức HĐT hiệu hai lập phương:
Công thức: Hiệu hai lập phương của hai số a và b được viết là: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
2. Cách chứng minh HĐT hiệu hai lập phương
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
= a³ – ab – ab + b² + ab + b³
= a³ – b³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT hiệu hai lập phương
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 2)³ – (x – 1)³
Giải:
(x + 2)³ – (x – 1)³ = (x³ + 6x² + 12x + 8) – (x³ – 3x² + 3x – 1)
= x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 3x² – 3x + 1
= 9x² + 9x + 9
= 9(x² + x + 1)
Bài toán 2: Chứng minh rằng: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Cách 1:
- Xét a = 0 và b = 0, ta có: 0³ – 0³ = (0 – 0)(0² + 0.0 + 0²)
=> 0 = 0.0² = 0
- Xét a = 1 và b = 1, ta có: 1³ – 1³ = (1 – 1)(1² + 1.1 + 1²)
=> 0 = 0.1² = 0
- Xét a = -1 và b = -1, ta có: (-1)³ – (-1)³ = (-1 – (-1))(-1² – (-1).(-1) + (-1)²)
=> 0 = 0.1² = 0
- Xét a = a và b = -a, ta có: a³ – (-a)³ = (a – (-a))(a² – a.(-a) + (-a)²)
=> 2a³ = 2a.a² = 2a³
=> 0 = 0
Vì các trường hợp trên đều đúng, nên ta có thể kết luận rằng:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Cách 2:
- Ta có: (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b²
= a² – b²
- Thay b = -a, ta có:
(a + (-a))(a – (-a)) = a² – (-a)²
= a² – a²
= 0
- Do (a + b)(a – b) = a³ – b³, ta có:
a³ – b³ = 0
=> a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng 7 Hằng Đẳng Thức Thường Gặp
Hiểu lý thuyết là một chuyện, vận dụng vào giải toán lại là chuyện khác. Dưới đây là các dạng bài tập điển hình mà bạn sẽ gặp:
Dạng 1: Tính nhanh, tính nhẩm
Ví dụ: Tính 99².
Cách giải: Thay vì nhân 99×99, ta áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
99² = (100 – 1)² = 100² – 2.100.1 + 1² = 10000 – 200 + 1 = 9801.
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Ví dụ: Rút gọn A = (x + y)² – (x – y)².
Cách giải: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương a² – b² = (a-b)(a+b) với a = x+y và b = x-y.
A = [(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)]
A = [x + y – x + y][x + y + x – y]
A = (2y)(2x) = 4xy.
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích 8x³ + 27 thành nhân tử.
Cách giải: Nhận thấy 8x³ = (2x)³ và 27 = 3³. Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²).
8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)((2x)² – 2x.3 + 3²) = (2x + 3)(4x² – 6x + 9).
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức B = 4x² + 4x + 5.
Cách giải: Ta biến đổi để xuất hiện bình phương của một tổng.
B = (4x² + 4x + 1) + 4 = (2x + 1)² + 4.
Vì (2x + 1)² ≥ 0 với mọi x, nên B = (2x + 1)² + 4 ≥ 4.
GTNN của B là 4, đạt được khi 2x + 1 = 0 ⇔ x = -1/2.
Ứng dụng của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Với những hằng đẳng thức đáng nhớ ta có thể áp dụng khi giải một số dạng bài tập toán như sau:
- Áp dụng trực tiếp bằng các hằng đẳng thức để thực hiện phép tính, tính giá trị các biểu thức số.
- Áp dụng các hằng đẳng thức để thu gọn biểu thức và chứng minh các đẳng thức.
- Áp dụng các hằng đẳng thức để giải bài toán tìm giá trị của biến và xác định hệ số của đa thức.
- Áp dụng để tính toán các giá trị biểu thức với các biến có điều kiện.
- Chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- Áp dụng các hằng đẳng thức để giải một số bài toán số học và tổ hợp.
Tạm kết
Hằng đẳng thức là công cụ quan trọng giúp ta giải toán nhanh chóng và chính xác. Việc nắm vững và sử dụng thành thạo các đẳng thức sẽ giúp bạn học tập hiệu quả hơn khi những bài toán sẽ bị “hạ đo ván” một cách thuần thục. Qua nội dung tổng hợp trên của Hoàng Hà Mobile, hy vọng bạn đọc đã kịp ghi nhớ và sử dụng thành tạo các quy tắc tính toán này. Đây được xem là một phần kiến thức cơ bản cần nắm vững, vì vậy hãy cố gắng nhớ hết tất cả nhé!
XEM THÊM:
