Diện tích hình bình hành bằng độ dài cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng: S = a × h. Ví dụ hình bình hành có đáy 7 cm, chiều cao 9 cm thì S = 7 × 9 = 63 cm². Khi không có chiều cao, có thể dùng hai cạnh kề và góc xen giữa (S = a·b·sin α) hoặc hai đường chéo và góc giữa chúng (S = ½·d₁·d₂·sin φ). Bài viết trình bày đủ các công thức, cách tìm đáy và chiều cao, kèm bài tập có lời giải.
Tóm tắt nhanh:
- Công thức chính: S = a × h (đáy nhân chiều cao ứng với đáy đó).
- Tìm ngược: a = S : h; h = S : a.
- Biết hai cạnh và góc: S = a × b × sin α (không có hệ số ½).
- Biết hai đường chéo: S = ½ × d₁ × d₂ × sin φ, với φ là góc giữa hai đường chéo.
Hình bình hành là gì?
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Từ đó suy ra:
- Các cạnh đối bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau; hai góc kề một cạnh có tổng 180°.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông đều là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành. Dấu hiệu nhận biết chi tiết có trong bài hình bình hành là gì.
Công thức tính diện tích hình bình hành
S = a × h
- a: độ dài cạnh đáy.
- h: chiều cao ứng với cạnh đáy đó, tức khoảng cách từ một đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đáy.
Vì sao công thức đúng? Cắt tam giác vuông ở một bên hình bình hành và ghép sang bên kia, ta được một hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng h, nên diện tích bằng a × h. Đây cũng là lý do diện tích hình bình hành bằng diện tích hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao.
Ví dụ: đáy 7 cm, chiều cao 9 cm thì S = 7 × 9 = 63 cm².
| Cần tìm | Công thức | Ví dụ |
|---|---|---|
| Diện tích | S = a × h | a = 7 cm, h = 9 cm → S = 63 cm² |
| Cạnh đáy | a = S : h | S = 63 cm², h = 9 cm → a = 7 cm |
| Chiều cao | h = S : a | S = 48 cm², a = 8 cm → h = 6 cm |
Tính diện tích hình bình hành khi không có chiều cao
Biết hai cạnh kề và góc xen giữa
S = a × b × sin α
Trong đó a, b là hai cạnh kề, α là góc giữa chúng. Công thức đến từ việc chiều cao ứng với cạnh a bằng b × sin α. Ví dụ a = 6 cm, b = 4 cm, α = 30° thì S = 6 × 4 × 0,5 = 12 cm².
Biết hai đường chéo và góc giữa hai đường chéo
S = ½ × d₁ × d₂ × sin φ
Ví dụ hai đường chéo dài 10 cm và 8 cm, hợp với nhau góc 30° thì S = ½ × 10 × 8 × 0,5 = 20 cm². Với hình thoi, hai đường chéo vuông góc (sin 90° = 1) nên công thức trở thành ½ × d₁ × d₂, xem bài diện tích hình thoi.
Lưu ý: không có công thức “½ × đường chéo × cạnh” cho hình bình hành; nếu gặp công thức này ở đâu đó, đó là công thức sai.
Bài tập diện tích hình bình hành có lời giải
Bài 1: Hình bình hành có cạnh đáy 7 cm, chiều cao 5 cm. Tính diện tích.
Lời giải: S = 7 × 5 = 35 cm².
Bài 2: Hình bình hành có diện tích 48 cm², cạnh đáy 8 cm. Tính chiều cao.
Lời giải: h = 48 : 8 = 6 cm.
Bài 3: Hình bình hành có diện tích 63 cm², chiều cao 9 cm. Tính cạnh đáy.
Lời giải: a = 63 : 9 = 7 cm.
Bài 4: Hình bình hành ABCD có AB = 6 cm, AD = 4 cm, góc A = 120°. Tính số đo các góc còn lại và diện tích.
Lời giải: góc C = góc A = 120°, góc B = góc D = 180° − 120° = 60°. S = 6 × 4 × sin 60° = 24 × √3/2 = 12√3 ≈ 20,78 cm².
Bài 5: Hình bình hành có hai cạnh 8 cm và 5 cm, góc xen giữa 60°. Tính diện tích.
Lời giải: S = 8 × 5 × sin 60° = 20√3 ≈ 34,64 cm².
Bài 6 (thực tế): Một mảnh đất hình bình hành có cạnh đáy 25 m, chiều cao 12 m. Tính diện tích.
Lời giải: S = 25 × 12 = 300 m².
Lỗi thường gặp
- Dùng cạnh bên thay cho chiều cao: chiều cao là đoạn vuông góc, luôn ngắn hơn hoặc bằng cạnh bên.
- Lấy chiều cao ứng với cạnh này nhân với cạnh kia.
- Thêm hệ số ½ vào công thức a × b × sin α (đó là công thức diện tích tam giác).
- Quên đổi về cùng đơn vị và ghi đơn vị vuông cho kết quả.
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính diện tích hình bình hành là gì?
Diện tích hình bình hành bằng cạnh đáy nhân với chiều cao ứng với đáy đó: S = a × h.
Muốn tính chiều cao hình bình hành ta làm thế nào?
Lấy diện tích chia cho cạnh đáy: h = S : a.
Không có chiều cao thì tính diện tích hình bình hành thế nào?
Dùng hai cạnh kề và góc xen giữa: S = a × b × sin α, hoặc hai đường chéo và góc giữa chúng: S = ½ × d₁ × d₂ × sin φ.
Diện tích hình bình hành có bằng nửa tích hai đường chéo không?
Chỉ đúng khi hai đường chéo vuông góc, tức hình bình hành là hình thoi. Trường hợp chung phải nhân thêm sin của góc giữa hai đường chéo.
Diện tích hình bình hành và hình chữ nhật liên quan thế nào?
Hình bình hành có cùng diện tích với hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao, vì có thể cắt ghép thành hình chữ nhật đó.
Diện tích hình bình hành học ở lớp mấy?
Công thức S = a × h được học ở Toán lớp 4 (chương trình cũ) và Toán lớp 6 theo chương trình GDPT 2018; công thức có sin học ở lớp 10.
Kết luận
Diện tích hình bình hành tính bằng đáy nhân chiều cao, S = a × h; khi thiếu chiều cao thì dùng a × b × sin α hoặc ½ × d₁ × d₂ × sin φ. Chú ý chọn đúng chiều cao ứng với đáy và không thêm hệ số ½ sai chỗ. Bạn có thể học tiếp bài diện tích hình thang và trọng tâm tam giác.
