Hiện nay có khá nhiều bạn học sinh chưa biết cách tính diện tích hình quạt tròn vì chưa nắm rõ công thức của nó. Đây là kiến thức giúp các bạn học sinh có thể học tốt môn hình học ở lớp. Vì vậy ở bài viết sau sẽ chia sẻ công thức tính diện tích của hình quạt tròn cho các bạn tìm hiểu và áp dụng vào những dạng bài tập phổ biến hiện nay.
Diện tích của hình tròn được tính bằng công thức nào?
Trước khi tìm hiểu công thức tính diện tích hình quạt tròn thì chúng ta phải tìm hiểu về hình tròn và cách tính diện tích của hình này. Diện tích của hình tròn (S) thường là phần nằm ở bên trong của một đường tròn. Việc tìm hiểu cách tính S của hình tròn xuất phát từ thời cổ đại và do người ở Hy Lạp nghiên cứu ra vào trước Công Nguyên.
Các nhà toán học ở Hy Lạp đã nhận thức ra S của hình tròn có quan hệ với độ dài bán kính bình phương lên. Tức là khi mọi người đã biết độ dài bán kính trong 1 hình trong thì mọi người sẽ tính được S của nó bằng việc dùng 1 công thức như sau:
S = π x R^2 (đơn vị đo lường diện tích)
Diện tích hình quạt được tính bằng công thức nào?
Khi đã tìm hiểu được cách tính S của hình tròn thì bạn sẽ thấy nó có mối liên hệ với hình quạt tròn qua những thông tin sau đây:
Hình quạt tròn là gì?
Diện tích (S) của 1 hình quạt là một định nghĩa khá quan trọng trong toán học và hình học. Để tìm hiểu rõ hơn về diện tích của hình này thì các bạn hãy liên tưởng đến 1 hình tròn ở trong 1 mặt phẳng. Ở bên trong hình tròn này có 1 tâm và 1 đường viền. Để tạo được 1 hình quạt tròn thì các bạn chỉ cần chọn ra 2 điểm ngẫu nhiên tại đường viền hình trong và nối nó với tâm hình tròn.
Công thức dùng để tính S hình quạt
Như vậy, S của hình tròn được tạo bởi 2 tia trên chính là S của 1 hình quạt tròn. Để tính được S này thì các bạn hãy dùng góc ở giữa 2 tia khởi đầu, kết thúc. Góc được tạo ra sẽ đo lường bằng đơn vị độ và đây là nhân tố mang tính quyết định đến S của quạt tròn. Điểm quan trọng nhất là S của quạt tròn chính là 1 phần S thuộc hình tròn hoàn hảo và chứa hai tia tạo nên hình quạt.
Để tính S hình quạt thì chúng ta cần lấy tỉ lệ của góc tạo bởi 2 tia đem nhân với diện tích toàn phần của hình tròn. Công thức tính diện tích hình quạt hiện nay được áp dụng vào nhiều lĩnh vực trong thực tế, từ địa lý, khoa học tự nhiên tới kỹ thuật. Sau đây là công thức cụ thể để tính S của hình quạt gồm bán kính là R:
Trong đó có:
- l là chiều dài cung n° thuộc hình quạt.
- n°: số đo độ của cung
- π: hằng số xấp xỉ 3,14
- R: bán kính đường tròn.
Tổng hợp những bài tập trắc nghiệm về diện tích hình quạt
Để áp dụng kiến thức về cách tính S của hình quạt ở trên thì các bạn hãy theo dõi những bài tập trắc nghiệm như sau:
Bài 1: 1 hình trong có S là 225π cm2. Vậy độ dài R thuộc hình tròn này bằng bao nhiêu?
- A. 15 cm
- B. 16 cm
- C. 12 cm
- D. 14 cm
Đáp án:
Ta có S = R^2 x π = 225. Suy ra R^2 = 225 và suy ra độ dài R là 15cm.
Bài 2: Hãy tính diện tích của hình tròn có bán kính là R = 10cm?
- A. 100π cm²
- B. 10π cm²
- C. 20π cm²
- D. 100π² cm²
Đáp án:
S = π X r^2 = 100π (cm2)
Bài 3: Cho 1 đường tròn có tâm 0 với bán kính là 10cm, đường kính là AB. Lấy điểm M thuộc đường tròn tâm O sao cho góc tên BAM bằng 45 độ. Bạn hãy tính S của hình quạt tên AOM.
- A. 5π (cm²)
- B. 25π (cm²)
- C. 50π (cm²)
- D. 25/2π (cm²)
Đáp án:
Chúng ta có đường tròn tâm O và bán kính bằng 10cm:
- OA = OM
- Góc tên MOA bằng 45 độ
Suy ra tam giác AMO là một tam giác vuông và vân → Góc tên MOA bằng 90 độ.
Vậy thì ta sẽ tính được S của hình quạt tên AOM là:
S = (π x R² x n°)/360
= (π x 10^2 x 90)/360
= 25π (cm²)
Tổng hợp các bài tập tự luận về tính diện tích hình quạt tròn
Ngoài những bài tập trắc nghiệm đơn giản ở trên thì các bạn có thể tham khảo thêm một số bài tập tự luận về cách tính diện tích của hình quạt như sau:
Bài 1
Cho 1 hình tròn có tâm O với độ dài đường kính tên AB là 3√3. Cho điểm C thuộc đường tròn và tạo ra góc tên ABC bằng 60 độ. Hãy tính S hình viên phân BC (Khu vực hình tròn được giới hạn từ 1 cung tròn cùng 1 dây căng cung).
Đáp án:
Xét một đường tròn tâm O có góc tên ACB bằng 90 độ.
Suy ra góc tên CAB = 90 độ – góc tên CBA = 60 độ (Tam giác tên ABC có góc vuông ở C)
Góc BOC và góc CAB là hai góc nội tiếp và là góc tại tâm cùng chắn cung.
Suy ra góc BOC gấp hai lần góc tên CAB = 2 x 30 độ = 60 độ.
Vậy S hình quạt tên AOC là: S = (π x R^2 x 60)/360 = π x R^2/6
Ta tiếp tục xét tam giác tên AOC và được:
- Góc tên BOC bằng 60 độ
- OC = OA = R
Suy ra tam giác tên BOC đều có các cạnh là R.
Ta gọi đoạn đường cao thuộc tam giác tên AOC là H và ta được:
CH = CO x sin góc 60 độ = √3R/2
Suy ra S của tam giác tên AOC = 1/2 x CH x OA = √3R^2/4
Như vậy, S của hình viên phân BC sẽ bằng diện tích hình quạt tên AOC – S của hình tam giác tên BOC:
⇔ π x R^2/6 – √3R^2/4 = (18π – 27√3)/16 (cm²)
Bài 2
Hãy tính toán và điền kết quả vào trong bảng như sau:
| R của đường tròn | Độ dài của đường tròn | S hình tròn | Số đo cung tròn | S hình quạt |
| 12cm | 45 độ | |||
| 2cm | 10.5cm2 | |||
| 40cm2 | 10cm2 |
Đáp án:
Ta có độ dài của đường tròn = 12cm nên suy ra C bằng 12cm. Vậy thì R của đường tròn bằng: R = C/ 2π = 12/2π = 1.91cm.
Vậy thì S của hình tròn với R = 1.91cm là: S = R^2 x π = 1.91^2 x π = 11.46 cm2.
Suy ra S của hình quạt có cung 45 độ là: S’ = (π x R^2 x n)/360 = (π x 1.91^2 x 45)/ 360 = 1.43cm2.
Vì bán kính của đường tròn bằng 2cm nên ta có độ dài của đường tròn = C = 2πxR = 2π x R = 2π x 2 = 12,57cm.
Vậy thì S của hình tròn được tính bằng S = R^2 x π = 2^2 x π = 12.57cm2.
Vì diện tích hình quạt = 10.5cm2 nên suy ra số đo cung tròn bằng n = (360 x S’)/ (π x R^2) = (360 x 10.5)/ 12.57 = 300 độ.
Vì S của hình tròn bằng 40cm2 nên suy ra R của đường tròn bằng R = √S/R = √40/π = 3.57cm.
Vậy ta có chu vi của cung tròn là C = 2π x R = 2π x 3.57 = 22.42cm.
Vì ta có S của hình quạt = 1/4 S của hình tròn nên ta có số đo của cung tròn bằng 90 độ.
Như vậy ta sẽ điền vào bảng trên các kết quả như sau:
| R của đường tròn | Độ dài của đường tròn | S hình tròn | Số đo cung tròn | Diện tích hình quạt |
| 1.91cm | 12cm | 11.46cm2 | 45 độ | 1.43cm2 |
| 2cm | 12.57cm | 12.57cm2 | 300 độ | 10.5cm2 |
| 3.57cm | 22.42cm | 40cm2 | 90 độ | 10cm2 |
Bài 3
Cho 1 hình vuông có độ dài các cạnh đều bằng 5cm và nội tiếp 1 đường tròn tâm O. Bạn hãy tính toán độ dài của đường tròn tâm O và tính S của hình tròn này?
Đáp án:
Gọi hình vuông ở trên có tên là ABCD, ta có:
OD = OC = OB = OA = R. Suy ra điểm O chính là một giao điểm của đoạn AC với đoạn BD. Từ đó suy ra R = AC/2
Xét một tam giác tên ABC vuông ở B, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2 (Pitago)
AC^2 = 5^2 + 5^2
AC^2 = 25 + 25
AC^2 = 50
→ AC = 5√2 cm
Vậy ta có R của đường tròn bằng R = AC/2 = (5√2)/2 (cm)
Vậy ta có C của hình tròn bằng: 2π x R = 2 x π x ((5√2)/2)) (cm)
Vậy ta có S của hình tròn này bằng: S = π x R^2 = π x ((5√2)/2)^2 = (25/2)π (cm^2)
Bài 4
Cho 1 đường tròn có tâm O và bán kính R cùng 1 điểm M để OM = 2R. Kể từ điểm M, hãy vẽ những tiếp tuyến như MA, MB với điểm A và B là những tiếp điểm.
- Hãy tính độ dài của cung AB.
- Hãy tính S được giới hạn bởi 2 tiếp tuyến là BM và AM với cung AB.
Đáp án:
a. Vì đoạn AM là phân tiếp tuyến đường tròn có tâm O nên đoạn AM sẽ vuông góc với đoạn OA.
Xét 1 tam giác tên OAM có góc vuông ở A thì ta có:
cos góc AOM = OA/OM = R/2R = 1/2
Suy ra góc AOM bằng 60 độ. Mà đoạn OM còn là tia để phân giác góc tên AOB (2 tiếp tuyến khi cắt nhau).
Suy ra góc AOB = 120 độ
Vậy độ dài của cung AB = l = 9π x R x 120)/180 = (2π x R)/3 cm
b. Xét 1 tam giác tên là OAM và có góc vuông ở A:
AM^2 + AO^2 = OM^2 (Pitago)
→ AM^2 + R^2 = (2R)^2
→ AM^2 = 4 x R^2 – R^2
→ AM = √3x R
Vậy S của tam giác tên OAM sẽ bằng:
S = 1/2 AM x AO = 1/2 x R x √3R = (√3 x R^2)/2
Xét hai tam giác là AOM và BOM thì ta được:
- OM là đoạn chung
- BO = AO = R
- AM = BM (tiếp tuyến có thể cắt nhau)
Vì vậy mà tam giác tên AOM bằng với tam giác BOM (cạnh – cạnh – cạnh)
Suy ra diện tích của tam giác AOM = Diện tích của tam giác BOM = (√3 x R^2)/2
Suy ra diện tích của hình AMBO = Diện tích của AOM + Diện tích của BOM =
(√3 x R^2)/2 + (√3 x R^2)/2 = √3 x R^2
Vậy diện tích hình quạt tròn có cung AB là: S = (π x R^2 x 120 độ)/ 360 = (π x R^2)/3
Diện tích của khu vực giới hạn bởi tiếp tuyến MB, MA cùng cung AB là:
S = Diện tích của AMBO + Diện tích của hình quạt tròn có cung là AB = √3 x R^2 + (π x R^2)/3 = R^2 x (√3 – (π/3))
Một số bài toán về tính diện tích hình quạt tự luyện
Các bạn có thể tự luyện thêm vài bài về công thức tính S của hình quạt sau đây:
Bài 1: Cho 1 hình quạt có C = 28cm và S = 49cm2. Hãy tính toán R của hình quạt này.
Bài 2: Cho 1 đường tròn tâm I với bán kính là 2cm. Hãy vẽ đường bán kính IB, IA sao cho góc tên AIB bằng 120 độ. Bạn hãy tính:
- Hãy tính độ dài của cung AB.
- Hãy tính S của hình quạt bị giới hạn bởi cung AB cùng 2 bán kính là IB và IA.
Bài 3: Cho 2 đường tròn có cùng tâm O. Bán kính của 2 đường tròn này là r bằng 5cm và r bằng 2cm. Bạn hãy lấy hai điểm A và B sao cho thuộc đường tròn O và đảm bảo góc AOB bằng 70 độ. Tia OB, OA cắt đường tròn tâm O có bán kính R ở điểm D, E. Bạn hãy lấy điểm C nằm trong đường tròn O.
- Tính số đo góc DCE và góc DOE.
- Tính độ dài của đường tròn tâm O, bán kính R và tính đường tròn tâm O bán kính r với độ dài của cung DE.
- Tính S của hình tròn tâm O có bán kính r và tính hình quạt DOE.
Nội dung trên đã chia sẻ xong những kiến thức về công thức tính diện tích hình quạt cùng những bài tập liên quan. Các bạn học sinh phải nắm rõ kiến thức này để làm bài kiểm tra hình học tốt hơn.
Tham khảo bài viết liên quan:
