Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, ký hiệu |a⃗| hoặc |AB⃗|. Trong mặt phẳng Oxy, vectơ a⃗ = (x; y) có độ dài |a⃗| = √(x² + y²); vectơ AB⃗ có độ dài |AB⃗| = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Trong không gian Oxyz, chỉ cần thêm thành phần z. Dưới đây là đầy đủ công thức tính độ dài vectơ, cách tính độ dài tổng và hiệu hai vectơ, kèm ví dụ có lời giải và bài tập có đáp án.
Tóm tắt nhanh:
- Oxy: |a⃗| = √(x² + y²).
- Oxyz: |a⃗| = √(x² + y² + z²).
- Vectơ qua hai điểm: |AB⃗| = AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
- Tổng, hiệu: |a⃗ ± b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² ± 2|a⃗||b⃗|cos(a⃗, b⃗).
Độ dài vectơ là gì?
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, gồm điểm đầu và điểm cuối. Độ dài của vectơ AB⃗ chính là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu |AB⃗| = AB. Độ dài vectơ luôn là một số không âm.
- Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
- Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối gọi là vectơ – không, có độ dài bằng 0.
- Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Công thức tính độ dài vectơ trong mặt phẳng Oxy
Khi biết tọa độ vectơ
Cho vectơ a⃗ = (x; y), độ dài vectơ là:
|a⃗| = √(x² + y²)
Công thức này xuất phát từ định lý Pytago: x và y là hai cạnh góc vuông, độ dài vectơ là cạnh huyền.
Ví dụ 1: Cho a⃗ = (3; 4). Khi đó |a⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Khi biết tọa độ hai điểm
Cho A(xA; yA) và B(xB; yB). Trước hết tính AB⃗ = (xB − xA; yB − yA), sau đó:
|AB⃗| = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
Ví dụ 2: Cho A(1; 2), B(4; 6). Ta có AB⃗ = (3; 4), nên |AB⃗| = √(9 + 16) = 5.
Ví dụ 3: Cho M(−1; 3), N(2; −1). Ta có MN⃗ = (3; −4), nên |MN⃗| = √(9 + 16) = 5. Lưu ý dấu âm biến mất khi bình phương.
Công thức tính độ dài vectơ trong không gian Oxyz
Trong không gian, vectơ có thêm thành phần z. Cho u⃗ = (x; y; z):
|u⃗| = √(x² + y² + z²)
Với hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB): |AB⃗| = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²).
- Ví dụ 4: u⃗ = (1; 2; 2) ⇒ |u⃗| = √(1 + 4 + 4) = 3.
- Ví dụ 5: A(1; −1; 2), B(3; 1; 3) ⇒ AB⃗ = (2; 2; 1) ⇒ |AB⃗| = √(4 + 4 + 1) = 3.
Độ dài vectơ cũng là bước trung gian khi tính khoảng cách, ví dụ trong công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc khi lập phương trình đường thẳng.
Cách tính độ dài tổng và hiệu hai vectơ
Khi biết tọa độ
Tính tọa độ vectơ tổng (hoặc hiệu) trước, rồi áp dụng công thức độ dài. Ví dụ a⃗ = (1; 2), b⃗ = (2; 2) ⇒ a⃗ + b⃗ = (3; 4) ⇒ |a⃗ + b⃗| = 5.
Ví dụ (Oxyz): Cho a⃗ = (1; −2; 3), b⃗ = (3; 0; 1). Tính |a⃗ + b⃗| và |a⃗ − b⃗|.
Lời giải:
- a⃗ + b⃗ = (1 + 3; −2 + 0; 3 + 1) = (4; −2; 4) ⇒ |a⃗ + b⃗| = √(16 + 4 + 16) = √36 = 6.
- a⃗ − b⃗ = (1 − 3; −2 − 0; 3 − 1) = (−2; −2; 2) ⇒ |a⃗ − b⃗| = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3.
Khi biết độ dài và góc giữa hai vectơ
Dùng tích vô hướng (bản chất giống định lý cosin trong tam giác):
|a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2|a⃗||b⃗|cos(a⃗, b⃗)
|a⃗ − b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² − 2|a⃗||b⃗|cos(a⃗, b⃗)
Ví dụ 6: Cho |a⃗| = 3, |b⃗| = 4 và góc giữa hai vectơ bằng 60°.
- |a⃗ + b⃗|² = 9 + 16 + 2·3·4·(1/2) = 37 ⇒ |a⃗ + b⃗| = √37.
- |a⃗ − b⃗|² = 9 + 16 − 12 = 13 ⇒ |a⃗ − b⃗| = √13.
Trong hình học (không có tọa độ)
Dùng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc ba điểm để đưa tổng vectơ về một vectơ duy nhất, rồi tính độ dài đoạn thẳng tương ứng.
- Hình vuông ABCD cạnh a: AB⃗ + AD⃗ = AC⃗ ⇒ |AB⃗ + AD⃗| = AC = a√2.
- Tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm BC: AB⃗ + AC⃗ = 2AM⃗ ⇒ |AB⃗ + AC⃗| = 2AM = 2·(a√3/2) = a√3.
Độ dài đường trung tuyến của tam giác đều liên quan đến trọng tâm tam giác, rất hay gặp trong bài tập vectơ.
Vectơ đơn vị và cách chuẩn hóa vectơ
Muốn tìm vectơ đơn vị cùng hướng với a⃗ (a⃗ ≠ 0⃗), ta chia vectơ cho độ dài của nó: e⃗ = a⃗/|a⃗|.
Ví dụ a⃗ = (3; 4), |a⃗| = 5 ⇒ e⃗ = (3/5; 4/5). Kiểm tra: √(9/25 + 16/25) = 1.
Ứng dụng độ dài vectơ để nhận dạng tam giác
Độ dài vectơ giúp chứng minh tam giác cân, đều hoặc vuông chỉ bằng tọa độ.
Ví dụ 7: Cho A(1; 1), B(4; 5), C(5; −2). Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại A.
- AB⃗ = (3; 4) ⇒ AB = 5; AC⃗ = (4; −3) ⇒ AC = 5. Vậy AB = AC, tam giác cân tại A.
- Tích vô hướng AB⃗ · AC⃗ = 3·4 + 4·(−3) = 0 ⇒ AB ⊥ AC.
- Kết luận: tam giác ABC vuông cân tại A, và cạnh BC = 5√2.
Khi đã biết độ dài các cạnh, bạn có thể tính tiếp diện tích theo các công thức trong bài diện tích tam giác.
Bài tập tính độ dài vectơ có đáp án
| Bài | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | a⃗ = (6; 8). Tính |a⃗| | 10 |
| 2 | A(−2; 1), B(1; 5). Tính |AB⃗| | 5 |
| 3 | u⃗ = (2; −1; 2). Tính |u⃗| | 3 |
| 4 | |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, a⃗ ⊥ b⃗. Tính |a⃗ + b⃗| | 5 |
| 5 | Hình vuông cạnh 2. Tính |AB⃗ + AD⃗| | 2√2 |
| 6 | a⃗ = (3; 4). Tìm vectơ đơn vị cùng hướng | (3/5; 4/5) |
Lỗi thường gặp khi tính độ dài vectơ
- Lấy tọa độ điểm đầu trừ điểm cuối: AB⃗ = (xB − xA; …), nhưng với độ dài thì thứ tự không ảnh hưởng vì đã bình phương.
- Quên căn bậc hai: x² + y² là bình phương độ dài, không phải độ dài.
- Cộng độ dài thay vì cộng vectơ: |a⃗ + b⃗| nói chung không bằng |a⃗| + |b⃗|; chỉ bằng khi hai vectơ cùng hướng.
- Sai dấu cos: góc tù có cos âm, cần giữ nguyên dấu khi thay vào công thức.
Câu hỏi thường gặp về độ dài vectơ
Công thức tính độ dài vectơ là gì?
Với vectơ a⃗ = (x; y) trong mặt phẳng, |a⃗| = √(x² + y²). Trong không gian, a⃗ = (x; y; z) thì |a⃗| = √(x² + y² + z²).
Độ dài vectơ AB bằng gì?
Độ dài vectơ AB⃗ bằng độ dài đoạn thẳng AB, tính bằng √((xB − xA)² + (yB − yA)²) trong mặt phẳng tọa độ.
Độ dài vectơ có thể âm không?
Không. Độ dài vectơ luôn lớn hơn hoặc bằng 0; bằng 0 khi và chỉ khi đó là vectơ – không.
Vectơ đơn vị là gì?
Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1. Muốn có vectơ đơn vị cùng hướng với a⃗, ta lấy a⃗ chia cho |a⃗|.
Làm sao tính độ dài tổng hai vectơ khi biết góc?
Dùng công thức |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2|a⃗||b⃗|cos(a⃗, b⃗), rồi lấy căn bậc hai kết quả.
Độ dài vectơ học ở lớp mấy?
Khái niệm độ dài vectơ và tọa độ vectơ trong mặt phẳng được học ở Toán lớp 10; vectơ trong không gian Oxyz được học ở Toán lớp 12.
Kết luận
Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối, tính bằng √(x² + y²) trong mặt phẳng và √(x² + y² + z²) trong không gian. Khi gặp tổng hoặc hiệu vectơ, hãy tính tọa độ vectơ mới hoặc dùng công thức tích vô hướng với góc giữa hai vectơ. Luyện bảng bài tập trên sẽ giúp bạn làm nhanh dạng toán này trong đề kiểm tra.
Xem thêm:
