Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) là x = (−b ± √Δ) / (2a), với biệt thức Δ = b² − 4ac. Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt, Δ = 0 có nghiệm kép x = −b / (2a), Δ < 0 vô nghiệm (trong tập số thực). Đây là kiến thức trọng tâm của Toán lớp 9. Bài viết trình bày công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, cách nhẩm nghiệm, giải phương trình khuyết và ví dụ giải từng bước.
Tóm tắt nhanh:
- Tính Δ: Δ = b² − 4ac.
- Δ > 0: x₁ = (−b + √Δ) / 2a, x₂ = (−b − √Δ) / 2a. Δ = 0: x = −b / 2a. Δ < 0: vô nghiệm.
- b chẵn (b = 2b’): dùng Δ’ = b’² − ac, x = (−b’ ± √Δ’) / a.
- Nhẩm nhanh: a + b + c = 0 thì x₁ = 1, x₂ = c/a; a − b + c = 0 thì x₁ = −1, x₂ = −c/a.
Phương trình bậc 2 là gì?
Phương trình bậc 2 một ẩn là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó x là ẩn, a, b, c là các số đã biết và a ≠ 0. Hệ số a đứng trước x², b đứng trước x, c là hệ số tự do. Nếu a = 0, phương trình không còn là bậc 2 mà trở thành phương trình bậc nhất bx + c = 0.
Ví dụ: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6); 2x² − 8 = 0 (a = 2, b = 0, c = −8); 3x² − 6x = 0 (a = 3, b = −6, c = 0).
Công thức nghiệm phương trình bậc 2
Với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), tính biệt thức:
Δ = b² − 4ac
| Giá trị Δ | Kết luận | Nghiệm |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Hai nghiệm phân biệt | x₁ = (−b + √Δ) / (2a); x₂ = (−b − √Δ) / (2a) |
| Δ = 0 | Nghiệm kép | x₁ = x₂ = −b / (2a) |
| Δ < 0 | Vô nghiệm (trong tập số thực) | Không có |
Δ âm thì không lấy được căn bậc hai trong tập số thực, đó là lý do phương trình vô nghiệm; xem thêm bài căn bậc hai. Ý nghĩa và cách dùng biệt thức được giải thích riêng trong bài công thức delta và delta phẩy.
Công thức nghiệm thu gọn (khi b chẵn)
Khi b = 2b’ (b chẵn hoặc có dạng 2 nhân một biểu thức), dùng công thức thu gọn để tính nhanh hơn:
Δ’ = b’² − ac
- Δ’ > 0: x₁ = (−b’ + √Δ’) / a; x₂ = (−b’ − √Δ’) / a.
- Δ’ = 0: nghiệm kép x = −b’ / a.
- Δ’ < 0: vô nghiệm.
Ví dụ: x² − 6x + 5 = 0 có b’ = −3, Δ’ = 9 − 5 = 4, √Δ’ = 2, nên x₁ = 3 + 2 = 5, x₂ = 3 − 2 = 1.
Các bước giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm
- Xác định a, b, c (chú ý dấu). Với x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6.
- Tính Δ = b² − 4ac = 25 − 24 = 1.
- Xét dấu Δ: Δ = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Tính nghiệm: x₁ = (5 + 1) / 2 = 3; x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.
- Thử lại (nên làm): 3² − 5·3 + 6 = 0 và 2² − 5·2 + 6 = 0.
Ví dụ giải phương trình bậc 2 có lời giải
Ví dụ 1 (Δ > 0): Giải 6x² − 17x + 12 = 0.
Δ = (−17)² − 4·6·12 = 289 − 288 = 1. x₁ = (17 + 1) / 12 = 3/2; x₂ = (17 − 1) / 12 = 4/3.
Ví dụ 2 (Δ = 0): Giải x² − 4x + 4 = 0.
Δ = 16 − 16 = 0, phương trình có nghiệm kép x = 4 / 2 = 2.
Ví dụ 3 (Δ < 0): Giải x² + 2x + 3 = 0.
Δ = 4 − 12 = −8 < 0, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 4 (hai nghiệm vô tỉ): Giải x² + 5x + 2 = 0.
Δ = 25 − 8 = 17 > 0. x₁ = (−5 + √17) / 2, x₂ = (−5 − √17) / 2 (xấp xỉ −0,44 và −4,56).
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 bằng định lý Vi-ét
Nếu phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thì theo định lý Vi-ét: x₁ + x₂ = −b/a và x₁ · x₂ = c/a. Từ đó có các trường hợp nhẩm nghiệm nhanh:
| Dấu hiệu | Nghiệm | Ví dụ |
|---|---|---|
| a + b + c = 0 | x₁ = 1, x₂ = c/a | 3x² − 7x + 4 = 0 → x = 1; x = 4/3 |
| a − b + c = 0 | x₁ = −1, x₂ = −c/a | 2x² − 3x − 5 = 0 → x = −1; x = 5/2 |
| Tìm hai số có tổng S, tích P | Là nghiệm của x² − Sx + P = 0 | Tổng 7, tích 12 → x² − 7x + 12 = 0 → 3 và 4 |
Lưu ý: chỉ nhẩm được khi phương trình có dạng đặc biệt; các trường hợp còn lại vẫn dùng công thức nghiệm.
Giải phương trình bậc 2 khuyết b hoặc khuyết c
- Khuyết c (c = 0): đặt nhân tử chung. Ví dụ 3x² − 6x = 0 ⇔ 3x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
- Khuyết b (b = 0): chuyển vế rồi lấy căn. Ví dụ 2x² − 8 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = −2. Nếu x² bằng số âm thì phương trình vô nghiệm.
Giải phương trình bậc 2 bằng đồ thị
Nghiệm của ax² + bx + c = 0 là hoành độ giao điểm của parabol y = ax² + bx + c với trục hoành. Ví dụ đồ thị y = x² − 4x cắt trục hoành tại x = 0 và x = 4, đỉnh parabol là (2; −4). Cách vẽ đồ thị có trong bài hàm số bậc 2.
Cách này giúp hình dung số nghiệm (parabol cắt, tiếp xúc hay không cắt trục hoành) nhưng khó cho nghiệm chính xác khi nghiệm là phân số hoặc số vô tỉ.
Lỗi thường gặp khi giải phương trình bậc 2
- Lấy sai dấu của b, c (ví dụ x² − 5x + 6 = 0 thì b = −5, không phải 5).
- Quên điều kiện a ≠ 0 khi phương trình chứa tham số.
- Chỉ chia √Δ cho 2a thay vì chia cả tử số (−b ± √Δ).
- Dùng công thức thu gọn nhưng vẫn chia cho 2a thay vì chia cho a.
Có thể kiểm tra đáp án bằng máy tính cầm tay, xem bài máy tính Casio fx-580VN X.
Câu hỏi thường gặp
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 là gì?
Với ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), tính Δ = b² − 4ac; nếu Δ ≥ 0 thì x = (−b ± √Δ) / (2a), nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Khi nào phương trình bậc 2 có nghiệm kép?
Khi Δ = b² − 4ac = 0. Khi đó nghiệm kép là x = −b / (2a), ví dụ x² − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2.
Khi nào phương trình bậc 2 vô nghiệm?
Khi Δ = b² − 4ac < 0, ví dụ x² + 2x + 3 = 0 có Δ = −8 nên vô nghiệm trong tập số thực.
Khi nào dùng công thức nghiệm thu gọn?
Khi hệ số b chẵn (b = 2b’). Khi đó Δ’ = b’² − ac và x = (−b’ ± √Δ’) / a, giúp tính nhanh và ít sai hơn.
Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 thế nào?
Nếu a + b + c = 0 thì hai nghiệm là 1 và c/a; nếu a − b + c = 0 thì hai nghiệm là −1 và −c/a.
Phương trình bậc 2 học ở lớp mấy?
Phương trình bậc 2 một ẩn, công thức nghiệm và định lý Vi-ét thuộc chương trình Toán lớp 9.
Kết luận
Để giải phương trình bậc 2 ax² + bx + c = 0, hãy xác định đúng a, b, c, tính Δ = b² − 4ac rồi kết luận theo dấu của Δ; khi b chẵn, dùng Δ' cho gọn, và luôn thử nhẩm nghiệm theo a + b + c hoặc a − b + c trước. Khi đã thành thạo, bạn có thể học tiếp hệ phương trình và parabol.
