Thể tích khối chóp là kiến thức cơ bản mà các bạn học sinh lớp 12 cần nắm để học tốt môn Hình học. Những bài toán về khối chóp cũng xuất hiện rất nhiều trong những bài thi THPT Quốc Gia nên các bạn cần tìm hiểu thật kỹ và làm bài tập thường xuyên để nắm vững kiến thức. Bài viết sau đây sẽ chia sẻ nhiều hơn về khối chóp và công thức tính nhanh thể tích của nó.
Khái niệm hình chóp và một số tính chất
Trước khi tìm hiểu thể tích khối chóp thì mọi người cần tìm hiểu về hình chóp. Đây là dạng hình học bao gồm mặt đáy là hình đa giác với những mặt bên là hình tam giác đều chung 1 đỉnh. Đây cũng chính là đỉnh thuộc hình chóp. Đường cao trong hình chóp chính là 1 đường thẳng có thể đi qua phần đỉnh và tạo một góc vuông với mặt đáy.
Hiện nay hai dạng hình chóp thường gặp và tên gọi phụ thuộc vào hình dạng của mặt phẳng đáy. Đó là hình chóp tứ giác và hình chóp tam giác. Bên cạnh đó, hình chóp có một số tính chất mà các bạn cần nắm như sau:
- Hình chóp gồm những cạnh bên có độ dài như nhau thì chân của đường cao trong hình chóp chính là tâm của đường tròn nằm ngoại tiếp với đa giác đáy.
- Hình chóp gồm những mặt bên cùng thiết lập với đáy 1 góc giống nhau thì phần chân của đường cao hình chóp chính là tâm của đường tròn nằm nội tiếp với đa giác đáy.
- Hình chóp gồm 1 mặt bên tạo góc vuông với mặt đáy thì phần chân của đường cao hình chóp chính là chân của đường vuông góc được vẽ từ đỉnh hình chóp xuống dưới cạnh đáy thuộc mặt bên này.
- Hai mặt bên của hình chóp đồng thời vuông góc với mặt đáy thì đường giao tuyến của hai mặt bên này cũng vuông góc với mặt đáy.
Công thức dùng để tính nhanh thể tích khối chóp
Thể tích hình chóp hiện có thể được tính nhanh với công thức là:
V = 1/3 x S x h.
Trong đó:
- S: Diện tích của mặt phẳng đáy
- h: Chiều cao của hình chóp.
Một số dạng toán tính thể tích khối chóp thường gặp và bài tập vận dụng
Hiện nay có khá nhiều dạng toán liên quan đến việc tính thể tích của hình chóp vì đây là dạng hình học đặc biệt. Sau đây là một số dạng toán tính V của hình chóp thường gặp đi kèm với các bài tập liên quan. Các bạn học sinh có thể tham khảo:
Dạng toán tính V khối chóp với mặt bên ⊥ với đáy
Để nhận biết dạng bài toán tính thể tích này thì các bạn cần xem xét kỹ khối chóp mà bài toán đưa ra. Nếu như khối chóp đó có 2 mặt bên đồng thời ⊥ với mặt đáy và đường cao hình chóp cũng là giao tuyến thuộc 2 mặt bên đó thì chúng ta sẽ áp dụng công thức giải này.
Để tính đường cao thuộc khối chóp thì các bạn hãy dùng định lý như sau:
Để hiểu rõ hơn về cách tính V hình chóp này thì các bạn hãy xem qua bài tập minh họa như sau: Cho khối chóp S.ABCD gồm mặt đáy là tam giác ABC vuông ở B, mặt phẳng tên SBC ⊥ với mặt phẳng tên ABC, BC = 4a, BA = 3a. Cho biết góc SBC bằng 30 độ và SB bằng 2a√3. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC.
Đáp án:
Bạn hãy kẻ đường thẳng SH sao cho ⊥ với BC (H phải nằm trên cạnh BC). Sau đó ta có:
- Mặt phẳng SBC ⊥ với mặt phẳng ABC
- BC là đường giao tuyến của mặt phẳng SBC với mặt phẳng ABC
- SH vuông góc với BC
- SH nằm trong mặt phẳng SBC
→ SH vuông góc với mặt phẳng ABC
Tiếp đến chúng ta xét đến tam giác tên SHB vuông ở H, ta được:
- SH = SB x sin của góc SBC = 2a√3 x sin30 = a√3
- Diện tích của tam giác ABC = 1/2 x BA x BC = 1/2 x 3a x 4a = 6a^2
- Thể tích của hình chóp S.ABC = 1/3 x SH x Diện tích của tam giác ABC = 1/3 x a√3 x 6a^2 = 2a^3√3
Dạng toán tính V khối chóp gồm cạnh bên ⊥ với đáy
Như đã đề cập ở trên thì công thức tính V hình chóp bằng ⅓ S x h. Mà hình chóp còn có cạnh bên ⊥ với mặt phẳng đáy thì có thể suy ra là cạnh bên này chính là đường cao thuộc hình chóp với h bằng độ dài của cạnh bên ⊥ với đáy. Các bạn có thể hiểu hơn về dạng toán tính V hình chóp này qua bài tập sau:
Bài tập: Cho hình chóp tên S.ABC với cạnh SA ⊥ với đáy, độ dài SA là 4, độ dài AB là 6, độ dài BC là 10 và độ dài CA là 8. Vậy tính V hình chóp S.ABC?
Đáp án:
Ta có AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = BC^2
→ Tam giác ABC có góc vuông ở A.
Vì vậy mà diện tích của tam giác này là: S = 1/2 AB x AC = 1/2 x 6 x 8 = 24
Như vậy thể tích khối chóp S.ABC = 1/3 x SA x S của tam giác ABC = 1/3 x 4 x 24 = 32
Dạng toán tính V của hình chóp S.ABCD với đáy là 1 hình vuông
Với dạng toán hình chóp có mặt phẳng đáy là 1 hình vuông thì các bạn có thể theo dõi bài tập sau:
Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD gồm mặt phẳng đáy là 1 hình vuông với độ dài cạnh là a, cạnh SC thiết lập với mặt phẳng SAB 1 góc bằng 30 độ, cạnh SA ⊥ với đáy. Hãy tính V của khối chóp này?
Đáp án:
- Vì mặt phẳng ABCD là 1 hình vuông nên ta có cạnh BC vuông góc với cạnh AB (1).
- Mà cạnh SA lại vuông góc với mặt phẳng ABCD nên suy ra cạnh SA vuông góc với BC (2).
- Từ (1) và (2), chúng ta suy ra cạnh BC cũng vuông góc với mặt phẳng SAB.
- Vì vậy mà góc tạo bởi cạnh SA và mặt phẳng SAB = Góc tạo bởi cạnh SC và SB = Góc CSB = 30 độ.
- Từ đó suy ra BC/SB = tan30 = √3/3
- → SB = √3BC = √3a
- Dựa trên định lý của Pitago thì cạnh SA = √SB^2 – AB^2 = √3a^2 – a^2 = √2a
Vì vậy mà thể tích khối chóp S.ABCD là: 1/3 x SA x S của hình vuông ABCD = 1/3 √a x a^2 = (√2/3) x a^3
Dạng toán tính V hình chóp dạng lập phương
Đây là hình chóp khá đặc biệt vì tất cả các mặt bên của hình chóp đều có dạng hình lập phương. Do đó nên cách tính V của hình chóp dạng lập phương này rất dễ dàng: V = a x a x a = a^3. Tiếp theo là một bài tập minh họa:
Cho một hình chóp lập phương có đường chéo với độ dài là 27cm. Hãy tính V của hình chóp này?
Đáp án:
Độ dài các cạnh của hình chóp trên là 27/√3 (cm).
Vậy thì V của hình chóp lập phương này bằng V = (27/√3)^3 = 6561/√3 (cm^3).
Dạng toán tính V của hình chóp lăng trụ có đáy là tam giác cân đều
Nếu một hình chóp bao gồm mặt bên thuộc dạng hình bình hành, 2 mặt phẳng đáy nằm song song và có kích thước như nhau thì nó được coi như hình chóp lăng trụ. Nếu hình chóp lăng trụ này gồm mặt phẳng đáy được coi như tam giác cân đều thì nó là hình chóp lăng trụ tam giác cân đều. Sau đây là bài tập để các bạn hiểu rõ hơn.
Bài tập: Cho 1 hình lăng trụ là ABC.A’B’C’ có mặt phẳng đáy là tam giác đều ABC với cạnh a bằng 2cm cùng chiều cao h bằng 3cm. Bạn hãy tính toán thể tích khối chóp lăng trụ này?
Đáp án:
Bởi đáy của hình chóp trên là tam giác đều có cạnh bằng a nên S của tam giác này bằng a^2 x √3/4 = 2^2 x (√3/4) = √3 (m2)
Từ đó suy ra thể tích của hình chóp lăng trụ này bằng S của tam giác ABC x h = √3 x 3= 3√3 (m3)
Dạng toán tính V của hình chóp có đáy lục giác đều
Để hiểu hơn về cách tính thể tích hình chóp này thì mọi người xem bài tập sau:
Bài tập: Cho 1 hình chóp có đáy là lục giác đều với góc được tạo bởi cạnh bên cùng mặt phẳng đáy bằng 30 độ, độ dài cạnh đáy là a. Hãy tính V hình chóp này?
Đáp án:
Ta gọi tên của hình chóp ở trên là S.ABCDEF, gọi O là tâm thuộc mặt đáy ABCDEF.
Từ đó suy ra OA = OC = OB = OD = OF = OE = AB = CD = BC = DE = FA = EF = a
→ Tam giác OAB là 1 tam giác có các cạnh đều là a.
→ Diện tích của mặt đáy ABCDEF gấp 6 lần diện tích của tam giác OAB.
→ Diện tích của mặt đáy ABCDEF bằng (3.a^2.√3)/2
Ta có cạnh SO vuông góc với mặt đáy ABCDEF
→ Góc được tạo bởi cạnh SA và mặt đáy = Góc SAO = 30 độ
→ Cạnh SO = OA x tan30 = (a√3)/3
Như vậy thể tích khối chóp S.ABCDEF = 1/3 x Diện tích của mặt đáy ABCDEF x SO = 1/3 x (3.a^2√3)/2 x (a√3)/3 = (a^3)/2
Dạng toán tính V hình chóp gồm cạnh bên đôi một ⊥
Các bạn có thể tham khảo bài tập sau để tìm hiểu về cách tính V hình chóp gồm cạnh bên đôi một vuông góc với nhau:
Cho 1 tứ diện S.ABC gồm cạnh SA, SC, SB và đôi một cạnh bên vuông góc với nhau. Cho biết SB = 4a, SA = 3a, SC = 5a. Hãy tính V hình chóp này?
Đáp án:
Ta có cạnh SA vuông góc với cạnh SC, cạnh SA vuông góc với cạnh SB → Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng SBC.
Từ đó suy ra diện tích của hình chóp tứ diện S.ABC = 1/3 x SA x diện tích của mặt phẳng SBC = 1/6 x SA x SB x SC = 1/6 x 3a x 4a x 5a = 10a^3
Dạng toán tính V hình chóp tròn xoay
Công thức tính V hình chóp tròn xoay
Công thức để tính V của hình chóp tròn xoay gần giống với công thức dùng để tính V hình chóp cơ bản:
V = 1/3 B x h
= 1/3 x π x r^2 x h x 1/3 x B x h
= 1/3 x π x r^2 x h
Trong đó:
- B: Diện tích của đáy có dạng hình nón
- r: Bán kính của mặt phẳng đáy có hình nón
- h: Chiều cao hình nón
Bài tập tính V hình chóp tròn xoay
Bài tập sau đây sẽ giúp bạn hiểu hơn về cách tính thể tích khối chóp tròn xoay ở trên:
Cho 1 hình nón cao 2√5 với 1 mặt phẳng đi qua phần đỉnh của hình nón rồi cắt hình nón này thành 1 thiết diện có hình tam giác cạnh đều với S của tam giác = 9√3. Hãy tính V của hình chóp đã được giới hạn theo hình nón của đề bài.
Đáp án:
Ta có tam giác được tạo thành từ thiết diện là tam giác ABC giống hình sau, điểm I được coi là trung điểm của cạnh BC, coi a như độ dài của cạnh tam giác ABC. Như vậy, ta có:
(a^2√3)/4 = 9√3 → (3a^2)/4 = 27 → AI = a√3 = 3√3
→ OI = √AI^2 – AO^2 = √27 – 20 = √7
Bán kính của đáy dạng hình nón là R = OC = √OI^2 + IC^2 = √7 + 9 = 4
Vậy thì V của hình chóp trên là V = 1/3 x π x 4^2 x 2√5 = (32√5π)/3
Nội dung trên đã chia sẻ khá nhiều công thức tính thể tích khối chóp nhanh chóng cho các bạn tìm hiểu. Hy vọng các bạn có thể giải toán nhanh hơn với những công thức và dạng bài tập ở trên. Đây là kiến thức nền tảng để các bạn học tốt hơn môn hình học ở bậc THPT.
Tham khảo bài viết liên quan:
- Đường trung tuyến là gì? Tính chất, công thức và bài tập tính đường trung tuyến
- Công thức lượng giác, bảng công thức lượng giác đầy đủ nhất
