Tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc đều là góc nhọn, tức mỗi góc nhỏ hơn 90°. Khi biết độ dài ba cạnh a, b, c (c là cạnh lớn nhất), tam giác là tam giác nhọn nếu c² < a² + b². Tam giác đều luôn là tam giác nhọn. Bài viết giải thích định nghĩa, cách nhận biết, tính chất các đường đặc biệt, công thức tính diện tích và bài tập có lời giải về tam giác nhọn.
Tam giác nhọn là gì?
Tam giác nhọn là tam giác có ba góc trong đều là góc nhọn (lớn hơn 0° và nhỏ hơn 90°). Vì tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180°, chỉ cần góc lớn nhất nhỏ hơn 90° là cả ba góc đều nhọn.
Ví dụ: tam giác có ba góc 50°, 60°, 70° là tam giác nhọn; tam giác có các góc 30°, 60°, 90° là tam giác vuông, không phải tam giác nhọn.
Phân loại tam giác theo góc
| Loại tam giác | Đặc điểm góc | Dấu hiệu theo cạnh (c là cạnh lớn nhất) |
|---|---|---|
| Tam giác nhọn | Cả 3 góc < 90° | c² < a² + b² |
| Tam giác vuông | Có 1 góc = 90° | c² = a² + b² |
| Tam giác tù | Có 1 góc > 90° | c² > a² + b² |
Dấu hiệu theo cạnh được suy ra từ định lý cosin: c² = a² + b² − 2ab·cosC, nên góc C nhọn khi và chỉ khi cosC > 0, tức c² < a² + b².
Ngoài phân loại theo góc, tam giác còn được phân loại theo cạnh (thường, cân, đều). Một tam giác có thể vừa nhọn vừa cân, ví dụ tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 40°.
Cách nhận biết tam giác nhọn
Cách 1: Dựa vào số đo góc
Tìm góc lớn nhất của tam giác. Nếu góc lớn nhất nhỏ hơn 90° thì tam giác là tam giác nhọn.
Cách 2: Dựa vào độ dài ba cạnh
- Xác định cạnh lớn nhất, gọi là c.
- Tính c² và a² + b².
- So sánh: nếu c² < a² + b² thì tam giác nhọn.
Ví dụ 1: Tam giác có ba cạnh 5, 6, 7. Cạnh lớn nhất là 7: 7² = 49; 5² + 6² = 61. Vì 49 < 61 nên đây là tam giác nhọn (góc lớn nhất xấp xỉ 78,5°).
Ví dụ 2: Tam giác có ba cạnh 4, 5, 7: 7² = 49; 4² + 5² = 41. Vì 49 > 41 nên đây là tam giác tù (góc lớn nhất xấp xỉ 101,5°).
Ví dụ 3: Tam giác có ba cạnh 6, 8, 10: 10² = 100 = 6² + 8², nên đây là tam giác vuông.
Tính chất của tam giác nhọn
- Tổng ba góc bằng 180°, mỗi góc đều nhỏ hơn 90°.
- Trực tâm nằm bên trong tam giác: ba đường cao của tam giác nhọn cắt nhau tại một điểm nằm trong tam giác (tam giác vuông có trực tâm trùng đỉnh góc vuông, tam giác tù có trực tâm nằm ngoài).
- Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên trong tam giác (với tam giác vuông, tâm nằm ở trung điểm cạnh huyền).
- Chân các đường cao nằm trên các cạnh, không rơi ra phần kéo dài của cạnh.
- Trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp luôn nằm trong tam giác, điều này đúng với mọi loại tam giác.
Công thức tính chu vi và diện tích tam giác nhọn
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Chu vi | P = a + b + c |
| Diện tích theo đường cao | S = ½·a·hₐ |
| Diện tích theo hai cạnh và góc xen giữa | S = ½·a·b·sinC |
| Diện tích khi biết 3 cạnh (Heron) | S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)], với p = (a + b + c)/2 |
Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác nhọn có ba cạnh 5, 6, 7.
- Nửa chu vi p = (5 + 6 + 7)/2 = 9.
- S = √[9·(9 − 5)·(9 − 6)·(9 − 7)] = √(9·4·3·2) = √216 = 6√6 ≈ 14,7 (đơn vị diện tích).
Các công thức diện tích cho từng loại tam giác được tổng hợp trong bài công thức tính diện tích tam giác.
So sánh vị trí các điểm đặc biệt trong tam giác nhọn, vuông, tù
Vị trí của trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp là cách nhận diện loại tam giác rất hay gặp trong câu hỏi trắc nghiệm.
| Điểm đặc biệt | Tam giác nhọn | Tam giác vuông | Tam giác tù |
|---|---|---|---|
| Trực tâm (giao 3 đường cao) | Bên trong tam giác | Trùng đỉnh góc vuông | Bên ngoài tam giác |
| Tâm đường tròn ngoại tiếp | Bên trong tam giác | Trung điểm cạnh huyền | Bên ngoài tam giác |
| Chân đường cao từ đỉnh góc lớn nhất | Nằm trên cạnh đối diện | Nằm trên cạnh huyền | Nằm trên cạnh đối diện |
| Chân đường cao từ đỉnh góc nhỏ | Nằm trên cạnh | Trùng đỉnh góc vuông | Nằm trên phần kéo dài của cạnh |
Nhờ bảng này, khi đề cho biết “trực tâm nằm ngoài tam giác”, bạn có thể kết luận ngay đó là tam giác tù mà không cần tính góc.
Cách vẽ tam giác nhọn
- Vẽ một đoạn thẳng BC làm cạnh đáy.
- Chọn điểm A phía trên BC sao cho hình chiếu của A rơi vào giữa B và C (không ra ngoài đoạn BC).
- Đảm bảo góc tại A nhỏ hơn 90°: điểm A phải nằm ngoài đường tròn đường kính BC.
- Nối AB, AC để được tam giác ABC nhọn.
Mẹo: nếu điểm A nằm đúng trên đường tròn đường kính BC thì góc A vuông; nằm bên trong đường tròn đó thì góc A tù.
Bài tập về tam giác nhọn có đáp án
| Bài | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | Tam giác có các góc 45°, 65°, 70° là tam giác gì? | Tam giác nhọn |
| 2 | Tam giác có ba cạnh 5, 6, 7 là tam giác gì? | Tam giác nhọn |
| 3 | Tam giác có ba cạnh 4, 5, 7 là tam giác gì? | Tam giác tù |
| 4 | Tam giác có ba cạnh 6, 8, 10 là tam giác gì? | Tam giác vuông |
| 5 | Tính diện tích tam giác có ba cạnh 5, 6, 7 | 6√6 ≈ 14,7 |
| 6 | Tam giác đều có phải tam giác nhọn không? | Có, vì mỗi góc bằng 60° |
Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác nhọn, có công thức diện tích riêng trong bài diện tích tam giác đều. Với tam giác cân, bạn có thể xem cách tính đường cao tam giác cân.
Câu hỏi thường gặp về tam giác nhọn
Tam giác nhọn là gì?
Tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc đều nhỏ hơn 90°.
Làm sao biết tam giác nhọn khi biết ba cạnh?
Gọi c là cạnh lớn nhất. Nếu c² < a² + b² thì tam giác là tam giác nhọn; nếu bằng thì là tam giác vuông; nếu lớn hơn thì là tam giác tù.
Tam giác đều có phải là tam giác nhọn không?
Có. Tam giác đều có ba góc bằng 60°, đều nhỏ hơn 90°, nên luôn là tam giác nhọn.
Trực tâm của tam giác nhọn nằm ở đâu?
Trực tâm của tam giác nhọn nằm bên trong tam giác, là giao điểm của ba đường cao.
Tam giác có thể vừa nhọn vừa cân không?
Có. Tam giác cân có góc ở đỉnh nhỏ hơn 90° là tam giác nhọn cân, ví dụ tam giác cân có các góc 40°, 70°, 70°.
Một tam giác có thể có hai góc tù không?
Không. Hai góc tù đã có tổng lớn hơn 180°, vượt quá tổng ba góc của tam giác, nên mỗi tam giác có nhiều nhất một góc tù.
Kết luận
Tam giác nhọn là tam giác có ba góc đều nhỏ hơn 90°. Để nhận biết nhanh, hãy so sánh bình phương cạnh lớn nhất với tổng bình phương hai cạnh còn lại: nhỏ hơn là tam giác nhọn. Nắm vững tính chất trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác và các công thức diện tích sẽ giúp bạn giải tốt các bài toán hình học liên quan.
Xem thêm:
