Toán học cung cấp cho các lứa học sinh, sinh viên những kiến thức quan trọng để làm cơ sở ứng dụng vào thực tiễn. Trong đó các loại số cơ bản là một trong những lý thuyết điển hình mà bất cứ người học nào cũng cần nắm được. Ngoài số tự nhiên, số nguyên đơn giản, người học sẽ được tiếp xúc với khái niệm số hữu tỉ và số vô tỉ. Tập hợp các số này vô cùng rộng lớn và được bắt gặp rất nhiều từ trong sách để đời thực. Vậy thực chất số hữu tỉ là gì và số vô tỉ là gì? Đặc điểm và sự khác nhau của hai loại số này có thể được phân biệt theo cách nào? Hãy cùng Hoàng Hà Mobile khám phá về những kiến thức Toán học bổ ích trong bài viết ngày hôm nay nhé!
Tổng quan chung về số hữu tỉ trong Toán học
Theo chương trình đào tạo hiện nay, học sinh sẽ được làm quen với số hữu tỉ từ Toán cấp Tiểu học, sau đó học sâu hơn về các phép tính và công thức liên quan đến loại số này vào cấp THCS và THPT. Số hữu tỉ là một kiến thức rất quan trọng, là nền tảng để phát triển tư duy các bài tập cao cấp hơn về sau này. Phần đầu của bài viết sẽ mang đến những thông tin căn bản nhất về số hữu tỉ cho người đọc.
Số hữu tỉ là gì? Khái niệm số hữu tỉ
Số hữu tỉ là một tập hợp các số có thể viết được dưới phân số có dạng a/b. Trong đó, cả a và b phải là số nguyên (bao gồm cả số âm và số dương), b phải khác 0. Quy định về dạng phân số của số hữu tỉ hoàn toàn tuân theo quy ước không có số nào có thể chia được cho 0. Vì vậy, trong trường hợp b = 0, số hữu tỉ đó sẽ là số vô nghĩa. Đây cũng là định nghĩa cơ bản và dễ hiểu nhất của số hữu tỉ, được sử dụng để giới thiệu tới người học trong các chương trình Toán học chuẩn sách giáo khoa. Người học sẽ dễ dàng bắt gặp số hữu tỉ trong nhiều phép tính toán như cộng trừ nhân chia, lũy thừa, kết quả của tích phân, nguyên phân…
Khái niệm số hữu tỉ là gì không chỉ được áp dụng cho Toán học mà còn là cơ sở tính toán của nhiều môn học tự nhiên khác Vật lý, Hóa học và Sinh học. Số hữu tỉ giúp người học thể hiện được các số không phải dạng số nguyên thông thường, hoặc hình dung rõ hơn về tỷ lệ, cách chia phần… Loại số này được ra đời cùng với khái niệm phân số, cũng có thể được viết dưới dạng số thập phân với dấu phẩy ngăn cách giữa phần nguyên và phần thập phân. Tuy nhiên để dễ hình dung, các kết quả của số hữu tỉ thường được biểu hiện dưới dạng phân số a/b (a, b thuộc 𝕫 và b khác 0).
Giới thiệu về tập hợp các số hữu tỉ
Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là ℚ với kiểu chữ viền hoặc chữ Q in đậm, viết tắt của từ quoziente có nghĩa là tỷ lệ. Theo đúng nguyên tắc, tập hợp các số hữu tỉ sẽ là tập hợp con tập số thực ℝ, tức là tập số thực rộng hơn và bao gồm tất cả các số hữu tỉ. Ngoài ra, tập hợp ℚ lại bao hàm các tập hợp số tự nhiên ℕ và số nguyên ℤ. Một vài tính chất mà người học cần ghi nhớ về tập hợp số hữu tỉ còn bao gồm Q là tập hợp số đếm được, bao hàm cả số nguyên, số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Khái niệm tập hợp số hữu tỉ là gì rất dễ hiểu, thường được viết tắt trong Toán học như sau: Q = {a/b; a, b thuộc 𝕫 ; b khác 0}. Ngoài ra các phần tử trong tập hợp này cũng có thể được biểu diễn trên một trục thẳng nằm ngang với các vạch chia khoảng và ghi rõ số. Người học cần nhớ kỹ các ký hiệu tập hợp để tránh sự nhầm lẫn trong khi giải bài tập hoặc ứng dụng thực tiễn. Bên cạnh đó, bạn cũng cần hiểu rõ bản chất của số hữu tỉ để xác định đúng các phần tử trong tập Q, hạn chế trường hợp nhầm lẫn với số vô tỉ hoặc số ảo.
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ là gì?
Cũng giống như giá trị tuyệt đối của các số nguyên, trị tuyệt đối của số hữu tỉ là khoảng cách giữa số đó đối với gốc 0 trên trục tọa độ. Nói một cách dễ hiểu, giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ sẽ là phần dương của số đó, ngoại trừ số 0 vì giá trị tuyệt đối của 0 là chính nó. Khái niệm này có thể được ký hiệu như sau: |x| với x Q.
Theo quy ước, người học sẽ có kết quả giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x như sau:
- |x| = 0 nếu x = 0
- |x| = x nếu x > 0, tức x là số dương
- |x| = -x nếu x < 0, tức x là số âm
Khái niệm giá trị tuyệt đối sẽ có hữu ích trong trường hợp người học tiến hành so sánh hai số hữu tỉ âm, giúp hạn chế tình trạng nhầm lẫn khi xuất hiện dấu “-”. Cách so sánh và tính toán dùng trị tuyệt đối cũng là một mẹo hữu ích, giúp bạn tính nhẩm nhanh hơn và cho kết quả chính xác hơn đối với trường hợp các số âm.
Phân loại các loại số hữu tỉ
Sau khi đã nắm rõ các khái niệm số hữu tỉ là gì, bạn có thể tiếp tục tìm hiểu sâu hơn về các loại số hữu tỉ. Mỗi loại sẽ có những đặc trưng riêng và vị trí riêng trên trục số, biểu thị một tỷ lệ khác nhau. Dựa trên nguyên tắc tập hợp con của tập Q, có thể chia số hữu tỉ thành 4 loại:
Số nguyên: Bao gồm các số chỉ có phần nguyên và có thể được biểu thị dưới dạng phân số là x/1 với x 𝕫, trong đó bao gồm cả số nguyên âm và dương.
Số thập phân hữu hạn: Dạng số hữu tỉ được biểu thị dưới dạng phân số, trong đó mẫu số là một số nguyên dương có giá trị bằng số nguyên 2 và 5 (trong trường hợp đó là phân số tối giản). Khi đó, phân số sẽ được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn (phần thập phân có giới hạn các chữ số).
Số thập phân vô hạn tuần hoàn: Dạng số hữu tỉ khi biểu thị dưới dạng phân số tối giản có mẫu số là số nguyên dương và khác chữ số 2, 5. Khi đó, phân số sẽ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (phần thập phân không giới hạn và có tính lặp lại ở các chữ số).
Số 0: Số hữu tỉ đặc biệt, không thuộc 3 nhóm trên, vừa không phải số hữu tỉ âm vừa không phải số hữu tỉ dương.
Các phép toán liên quan đến số hữu tỉ
Như vậy, các khái niệm và ký hiệu liên quan đã được cung cấp một cách đầy đủ để bạn hiểu rõ hơn số hữu tỉ là gì. Để tiến hành giải bài tập trong Toán học và các môn khác, người học cũng cần nắm thêm những công thức tính và cách so sánh số hữu tỉ. Nhìn chung, các phương pháp tính toán của số hữu tỉ cũng giống với số nguyên hay số tự nhiên, nhưng được áp dụng đối với phân số. Ngoài ra, trước khi tìm hiểu về các phép toán này, bạn cũng cần ghi nhớ một vài tính chất như nguyên tắc số đối, số đối của số hữu tỉ âm là số hữu tỉ dương và ngược lại, tổng 2 số đối bằng 0 và nguyên tắc đảo ngược trong phép chia và không chia được cho 0.
Công thức tính của số hữu tỉ là gì?
Các công thức sau được áp dụng cho số hữu tỉ X và Y, được biểu thị dưới dạng phân số với tử và mẫu là số nguyên, mẫu khác 0. Công thức sẽ tập trung vào phép tính lũy thừa của số hữu tỉ, bởi vì các phép cộng, trừ, nhân, chia khá đơn giản và dễ hiểu. Các phép tính toán đó có được viết dưới dạng sau:
- Phép cộng hai số hữu tỉ cùng mẫu: Tiến hành cộng tử số với nhau và giữa nguyên mẫu số, sau đó rút gọn thành phân số tối giản.
- Phép cộng hai số hữu tỉ khác mẫu: Tiến hành quy đồng mẫu, đưa phân số về dạng cùng mẫu rồi cộng giống hai phân số cùng mẫu.
- Phép trừ hai số hữu tỉ cùng và khác mẫu được thực hiện giống với phép cộng, chỉ khác thay vì cộng tử, người học tiến hành lấy tử số của số bị trừ trừ cho số trừ để ra kết quả.
- Phép nhân hai số hữu tỉ: Tiến hành nhân tử với tử, mẫu với mẫu của hai phân số, sau đó rút gọn để được phân số tối giản. Lưu ý, số nào nhân với 1 cũng bằng chính nó và số nào nhân với 0 đều bằng 0.
- Phép chia hai số hữu tỉ: Tiến hành nhân tử với tử, mẫu với mẫu của số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia, sau đó rút gọn để được kết quả là phân số tối giản.
Vậy công thức tính lũy thừa của số hữu tỉ là gì? Đối với phép tính lũy thừa, bạn đọc cần nhớ và nắm vững 4 công thức quan trọng được đề cập trong hình ảnh phía trên.
Cách so sánh các số hữu tỉ với nhau
Có 2 trường hợp xảy ra khi so sánh 2 số hữu tỉ: so sánh phân số cùng mẫu và so sánh phân số khác nhau.
Đối với trường hợp cùng mẫu và là số hữu tỉ dương, số nào có tử số lớn hơn thì sẽ lớn hơn. Ngược lại, đối với trường hợp cùng mẫu và là số hữu tỉ âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn.
Trong trường hợp so sánh số hữu tỉ khác mẫu, bạn cần tiến hành quy đồng mẫu số, đưa cả 2 phân số cần so sánh về cũng mẫu rồi tiến hành các bước giống với trường hợp cùng mẫu.
Số vô tỉ là gì? Bản chất của số vô tỉ trong Toán học
Nếu đã biết số hữu tỉ là gì, người học chỉ cần nhớ đơn giản rằng số vô tỉ là dạng ngược lại so với số hữu tỉ. Cụ thể, số vô tỉ là tập hợp số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn (phần sau dấu phẩy không giới hạn và không có tính chất lặp lại giữa các chữ số). Tập hợp các số vô tỉ được ký hiệu là I, cũng là một tập hợp con của số thực R. Số vô tỉ là tập hợp số không đếm được và rất khó để thể hiện chính xác số đó trên trục số. Một vài dạng số vô tỉ đặc biệt có thể kể đến như , căn bậc hai của các số ngoài số chính phương hoặc kết quả từ các phép tính log, lượng giác…
Vậy điểm khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ là gì? Nhìn vào tính chất và các quy ước về cách viết, có thể dễ dàng phân biệt hai loại số này theo những tiêu chí sau đây:
- Số hữu tỉ có thể được viết dưới dạng phân số với tử và mẫu nguyên, mẫu khác 0; số vô tỉ được viết dưới dạng số thập phân với phần sau dấu phẩy không giới hạn chữ số.
- Số hữu tỉ có thể là số nguyên, số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn; số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
- Tập hợp số hữu tỉ đếm được và có thể thể hiện trên trục số; tập hợp số vô tỉ không đếm được và rất khó để thể hiện chính xác trên trục số.
Tạm kết chủ đề “Số hữu tỉ là gì? Số vô tỉ là gì?”
Có thể thấy, kiến thức Toán học rất bao la và thú vị khi bạn được làm việc với các con số diệu kỳ, các mặt phẳng không gian cùng các hình học mang tính thực tiễn cao. Có những lý thuyết tưởng đơn giản nhưng lại là nền tảng để xây dựng và phát triển các kiến thức học thuật chuyên sâu và phức tạp hơn. Trong đó số hữu tỉ và số vô tỉ là một ví dụ. Các khái niệm, công thức tính hay tính chất của các số này vô cùng dễ hiểu và có thể dễ dàng áp dụng vào bài tập dù mới độc qua một lần. Nhưng đây chính là cơ sở cho các phép toán chuyên dụng như lượng giác, logarit, tích phân, nguyên hàm, đến tính diện tích, thể tích trong không gian…
Như vậy, bài viết đã cung cấp cho người đọc tất tần tật những thông tin cần thiết để hiểu rõ hơn số hữu tỉ là gì, số vô tỉ là gì và các công thức tính toán có liên quan. Để nắm vững và làm chủ Toán học, người học cần hiểu được bản chất của những con số này và áp dụng một cách thuần thục khi giải bài tập. Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã có thêm nhiều hiểu biết sâu hơn về bộ môn số học đầy hấp dẫn trong Toán. Đừng quên theo dõi Hoàng Hà Mobile để cập nhật những tin tức và thủ thuật công nghệ mới nhất.
Xem thêm:
