Phương sai là số đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình, bằng trung bình cộng bình phương các độ lệch: s² = [(x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²] / n. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán; căn bậc hai của phương sai là độ lệch chuẩn s, có cùng đơn vị với dữ liệu. Bài viết trình bày công thức cho mẫu số liệu thường, mẫu ghép nhóm, cách tính bằng Excel và ví dụ có lời giải.
Phương sai là gì?
Phương sai (tiếng Anh: variance) là đại lượng cho biết các giá trị trong một mẫu số liệu “rải” xa giá trị trung bình đến mức nào. Hai nhóm dữ liệu có thể có cùng trung bình nhưng phương sai rất khác nhau: nhóm có phương sai nhỏ thì các giá trị sát nhau, nhóm có phương sai lớn thì chênh lệch nhiều.
Trong chương trình phổ thông mới, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được học ở Toán 10; phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm học ở Toán 11. Ký hiệu thường dùng là s² (cho mẫu số liệu) và σ² (cho tổng thể hoặc biến ngẫu nhiên).
Để tính phương sai, trước hết cần tính trung bình cộng; nếu cần ôn lại, xem bài trung bình cộng là gì.
Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn
Với mẫu số liệu x₁, x₂, …, xₙ có trung bình x̄, phương sai được tính bằng trung bình cộng bình phương các độ lệch so với x̄, và độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
| Đại lượng | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Số trung bình | x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n | Tính trước tiên |
| Phương sai (định nghĩa) | s² = [(x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²] / n | Dễ hiểu ý nghĩa |
| Phương sai (công thức tính nhanh) | s² = (x₁² + x₂² + … + xₙ²) / n − x̄² | Tiện khi tính tay, máy tính cầm tay |
| Độ lệch chuẩn | s = √s² | Cùng đơn vị với dữ liệu |
| Phương sai hiệu chỉnh (mẫu) | ŝ² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) | Dùng khi ước lượng phương sai tổng thể từ một mẫu |
Sách giáo khoa phổ thông dùng công thức chia cho n. Trong thống kê ứng dụng, khi dùng mẫu để ước lượng tổng thể, người ta thường chia cho n − 1 (phương sai mẫu hiệu chỉnh).
Ví dụ tính phương sai có lời giải
Hãy làm theo 4 bước: tính trung bình, tính từng độ lệch, bình phương rồi cộng lại, chia cho n để có phương sai và lấy căn để có độ lệch chuẩn.
Ví dụ 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
- Trung bình: x̄ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5.
- Bình phương độ lệch: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16; tổng bằng 32.
- Phương sai: s² = 32 / 8 = 4.
- Độ lệch chuẩn: s = √4 = 2.
Nếu dùng phương sai hiệu chỉnh (chia n − 1 = 7), kết quả là 32 / 7 ≈ 4,571 và độ lệch chuẩn ≈ 2,138.
Ví dụ 2 (so sánh hai nhóm): Điểm kiểm tra của 10 học sinh tổ A: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 8. Tổ B: 4, 5, 6, 8, 9, 10, 10, 10, 8, 10. Tổ nào học đều hơn?
| Tổ | Trung bình | Phương sai | Độ lệch chuẩn |
|---|---|---|---|
| A | 8 | 1,2 | ≈ 1,10 |
| B | 8 | 4,6 | ≈ 2,14 |
Hai tổ cùng trung bình 8 điểm, nhưng phương sai tổ A nhỏ hơn nhiều, nghĩa là điểm tổ A đồng đều hơn; tổ B có cả học sinh rất cao và rất thấp.
Cách tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
Với mẫu số liệu ghép nhóm, lấy giá trị đại diện cᵢ (trung điểm) của mỗi nhóm, nhân với tần số nᵢ: s² = [n₁(c₁ − x̄)² + n₂(c₂ − x̄)² + … + nₖ(cₖ − x̄)²] / n, trong đó x̄ = (n₁c₁ + … + nₖcₖ) / n.
Ví dụ 3: Chiều cao (cm) của 30 học sinh được ghép nhóm như sau:
| Nhóm chiều cao | [150; 160) | [160; 170) | [170; 180) | [180; 190) |
|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện cᵢ | 155 | 165 | 175 | 185 |
| Tần số nᵢ | 5 | 12 | 8 | 5 |
- Trung bình: x̄ = (5·155 + 12·165 + 8·175 + 5·185) / 30 = 5.080 / 30 ≈ 169,33 cm.
- Dùng công thức tính nhanh: Σnᵢcᵢ² / n = 862.950 / 30 = 28.765.
- Phương sai: s² = 28.765 − 169,33² ≈ 91,22.
- Độ lệch chuẩn: s ≈ 9,55 cm.
Khi tính x̄² nên giữ nhiều chữ số thập phân (x̄ = 5.080/30) rồi mới làm tròn kết quả cuối để tránh sai số.
Cách tính phương sai bằng Excel
Trong Excel, dùng hàm VAR.P để tính phương sai chia cho n (như sách giáo khoa), VAR.S để tính phương sai mẫu chia cho n − 1; độ lệch chuẩn tương ứng là STDEV.P và STDEV.S.
- Nhập dữ liệu vào một cột, ví dụ A1:A8.
- Gõ
=VAR.P(A1:A8)để có phương sai theo công thức chia n. - Gõ
=VAR.S(A1:A8)nếu cần phương sai mẫu hiệu chỉnh. - Gõ
=STDEV.P(A1:A8)hoặc=STDEV.S(A1:A8)để có độ lệch chuẩn.
Với dữ liệu ở Ví dụ 1, VAR.P trả về 4 và VAR.S trả về khoảng 4,571. Máy tính cầm tay ở chế độ thống kê cũng tính được trung bình, độ lệch chuẩn sau khi nhập dữ liệu và tần số.
Ý nghĩa và ứng dụng của phương sai
Phương sai cho biết mức độ ổn định, đồng đều của dữ liệu: trong học tập là độ đều điểm số, trong sản xuất là độ ổn định chất lượng, trong tài chính là mức độ rủi ro, biến động của lợi nhuận.
| Lĩnh vực | Phương sai cho biết |
|---|---|
| Giáo dục | Lớp học có đồng đều hay chênh lệch trình độ |
| Sản xuất | Kích thước, khối lượng sản phẩm có ổn định không |
| Tài chính | Mức biến động giá, rủi ro của khoản đầu tư |
| Thời tiết | Nhiệt độ một nơi dao động nhiều hay ít |
| Học máy, thống kê | Độ phân tán của dữ liệu, sai số của mô hình |
Trong học máy, phương sai còn dùng để chuẩn hóa dữ liệu và đánh giá mức “dao động” của mô hình; xem thêm Machine Learning là gì.
Phương sai cũng xuất hiện trong lý thuyết xác suất với biến ngẫu nhiên: Var(X) = E(X²) − [E(X)]². Bạn có thể ôn khái niệm nền tảng trong bài xác suất là gì. Muốn thấy xác suất áp dụng vào tính toán thế nào, xem thêm công thức Bayes kèm ví dụ có lời giải.
Lỗi thường gặp khi tính phương sai
Các lỗi hay gặp là quên bình phương độ lệch, chia nhầm n − 1 khi đề yêu cầu theo sách giáo khoa, làm tròn trung bình quá sớm và quên nhân tần số với mẫu ghép nhóm.
- Cộng độ lệch không bình phương: tổng các độ lệch luôn bằng 0, nên phải bình phương.
- Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn: độ lệch chuẩn là căn của phương sai.
- Đơn vị: phương sai có đơn vị bình phương (cm²), độ lệch chuẩn cùng đơn vị dữ liệu (cm).
- Phương sai không âm: nếu ra số âm, chắc chắn đã tính sai.
Câu hỏi thường gặp về phương sai
Phương sai là gì?
Phương sai là trung bình cộng bình phương các độ lệch của dữ liệu so với số trung bình, cho biết dữ liệu phân tán nhiều hay ít quanh trung bình.
Phương sai và độ lệch chuẩn khác nhau thế nào?
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu nên dễ diễn giải hơn, còn phương sai có đơn vị bình phương.
Phương sai có thể âm không?
Không. Phương sai là tổng các bình phương chia cho số dương nên luôn lớn hơn hoặc bằng 0; bằng 0 khi mọi giá trị bằng nhau.
Khi nào chia cho n, khi nào chia cho n − 1?
Sách giáo khoa phổ thông chia cho n. Khi dùng một mẫu để ước lượng phương sai của tổng thể, thống kê thường chia cho n − 1.
Phương sai học lớp mấy?
Theo chương trình mới, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu học ở Toán 10, của mẫu số liệu ghép nhóm học ở Toán 11.
Hàm tính phương sai trong Excel là gì?
Dùng VAR.P cho phương sai chia n, VAR.S cho phương sai mẫu chia n − 1; độ lệch chuẩn dùng STDEV.P và STDEV.S.
Kết luận
Phương sai đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh trung bình, tính bằng trung bình cộng bình phương các độ lệch; độ lệch chuẩn là căn bậc hai của nó. Nhớ công thức tính nhanh s² = trung bình bình phương trừ bình phương trung bình, dùng giá trị đại diện và tần số cho mẫu ghép nhóm, và dùng VAR.P hoặc VAR.S trong Excel tùy yêu cầu đề bài là bạn đủ xử lý mọi dạng bài phương sai phổ thông.
Xem thêm:
