Muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình, bạn chỉ cần nhớ 3 bước: (1) lập phương trình – chọn ẩn, đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn rồi lập phương trình; (2) giải phương trình; (3) trả lời – đối chiếu nghiệm với điều kiện và kết luận. Đây là dạng bài xuất hiện thường xuyên trong Toán 8, Toán 9 và đề thi vào lớp 10. Phần dưới đây trình bày cách làm từng bước, bảng công thức theo dạng toán và 10 ví dụ có lời giải chi tiết, từ chuyển động, năng suất, số học đến hình học, để bạn luyện tập.
3 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Mọi bài toán dạng này đều đi qua cùng một khung 3 bước, khác nhau chủ yếu ở cách biểu diễn đại lượng.
| Bước | Việc cần làm | Lưu ý |
|---|---|---|
| Bước 1: Lập phương trình | Chọn ẩn, đặt đơn vị và điều kiện; biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn; lập phương trình | Thường chọn đại lượng đề hỏi làm ẩn |
| Bước 2: Giải phương trình | Giải phương trình vừa lập | Trình bày rõ các phép biến đổi |
| Bước 3: Trả lời | Đối chiếu nghiệm với điều kiện, loại nghiệm không phù hợp, kết luận | Ghi đơn vị trong câu trả lời |
Cách chọn ẩn và đặt điều kiện
Chọn ẩn đúng và đặt điều kiện chặt chẽ quyết định phần lớn việc bài làm có đúng hay không.
- Đọc kỹ đề, xác định đại lượng đã biết và chưa biết.
- Thường chọn chính đại lượng đề bài hỏi làm ẩn x.
- Số người, số con vật, số sản phẩm: x nguyên dương.
- Vận tốc, quãng đường, thời gian, độ dài: x > 0.
- Chữ số: từ 0 đến 9, chữ số hàng chục khác 0.
- Lập bảng tóm tắt các đại lượng giúp dễ lập phương trình hơn.
Công thức thường dùng theo từng dạng toán
Mỗi dạng toán dựa trên một mối quan hệ cố định giữa các đại lượng, nắm chắc mối quan hệ này là lập được phương trình.
| Dạng toán | Mối quan hệ cần nhớ |
|---|---|
| Chuyển động | Quãng đường = vận tốc × thời gian (s = v.t) |
| Chuyển động trên dòng nước | v xuôi = v riêng + v nước; v ngược = v riêng − v nước |
| Năng suất | Khối lượng công việc = năng suất × thời gian |
| Làm chung, làm riêng | Làm xong trong x giờ thì 1 giờ làm được 1/x công việc |
| Số có hai chữ số | Số ab = 10a + b (a từ 1 đến 9, b từ 0 đến 9) |
| Hình chữ nhật | Chu vi = 2(dài + rộng); diện tích = dài × rộng |
Bạn có thể ôn lại cách dùng s = v.t trong bài công thức tính quãng đường trước khi làm các ví dụ chuyển động.
Ví dụ dạng toán chuyển động
Với bài chuyển động, hãy lập bảng gồm ba cột vận tốc, thời gian, quãng đường cho từng giai đoạn rồi tìm đại lượng bằng nhau.
Ví dụ 1: Đi và về với vận tốc khác nhau
Đề bài: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h, lúc về đi với vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian đi và về là 7 giờ. Tính quãng đường AB.
- Bước 1: Gọi quãng đường AB là x (km), x > 0. Thời gian đi là x/40 giờ, thời gian về là x/30 giờ. Phương trình: x/40 + x/30 = 7.
- Bước 2: Quy đồng mẫu 120: 3x + 4x = 840 ⇔ 7x = 840 ⇔ x = 120.
- Bước 3: x = 120 thỏa mãn. Vậy quãng đường AB dài 120 km.
Ví dụ 2: Hai xe đi ngược chiều
Đề bài: Hai xe khởi hành cùng lúc từ A và B cách nhau 180 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc xe đi từ A lớn hơn xe đi từ B là 10 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
- Bước 1: Gọi vận tốc xe đi từ A là x (km/h), x > 10. Vận tốc xe đi từ B là x − 10. Sau 2 giờ, hai xe đi được tổng cộng 180 km: 2x + 2(x − 10) = 180.
- Bước 2: 4x − 20 = 180 ⇔ 4x = 200 ⇔ x = 50.
- Bước 3: x = 50 thỏa mãn. Xe từ A đi 50 km/h, xe từ B đi 40 km/h. Kiểm tra: 2 × 50 + 2 × 40 = 180, đúng.
Ví dụ 3: Ca nô xuôi dòng, ngược dòng
Đề bài: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 4 giờ và ngược dòng từ B về A hết 5 giờ. Vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô và quãng đường AB.
- Bước 1: Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h), x > 2. Vận tốc xuôi dòng x + 2, ngược dòng x − 2. Quãng đường hai chiều bằng nhau: 4(x + 2) = 5(x − 2).
- Bước 2: 4x + 8 = 5x − 10 ⇔ x = 18.
- Bước 3: x = 18 thỏa mãn. Vận tốc riêng 18 km/h, quãng đường AB = 4 × 20 = 80 km (ngược dòng: 5 × 16 = 80 km, khớp).
Ví dụ dạng toán năng suất, công việc
Bài năng suất giống bài chuyển động: thay quãng đường bằng khối lượng công việc và vận tốc bằng năng suất.
Ví dụ 4: Hoàn thành sớm hơn dự định
Đề bài: Một tổ sản xuất dự định mỗi ngày làm 40 sản phẩm. Thực tế mỗi ngày làm được 50 sản phẩm nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn 3 ngày. Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm?
- Bước 1: Gọi số sản phẩm theo kế hoạch là x (sản phẩm), x nguyên dương. Thời gian dự định x/40 ngày, thời gian thực tế x/50 ngày. Phương trình: x/40 − x/50 = 3.
- Bước 2: Quy đồng mẫu 200: 5x − 4x = 600 ⇔ x = 600.
- Bước 3: x = 600 thỏa mãn. Kế hoạch là 600 sản phẩm (dự định 15 ngày, thực tế 12 ngày, sớm 3 ngày).
Ví dụ 5: Hai vòi nước cùng chảy
Đề bài: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 5 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
- Bước 1: Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ), x > 6. Vòi thứ hai cần x + 5 giờ. Trong 1 giờ, hai vòi chảy được 1/x + 1/(x + 5) bể, bằng 1/6 bể: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6.
- Bước 2: Nhân hai vế với 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) ⇔ x² − 7x − 30 = 0 ⇔ (x − 10)(x + 3) = 0 ⇔ x = 10 hoặc x = −3.
- Bước 3: x = −3 không thỏa mãn điều kiện nên loại. Vòi thứ nhất cần 10 giờ, vòi thứ hai cần 15 giờ. Kiểm tra: 1/10 + 1/15 = 1/6, đúng.
Ví dụ dạng toán số học, tìm số
Với bài tìm số, hãy viết số dưới dạng tổng theo hàng (10a + b) và chú ý điều kiện của từng chữ số.
Ví dụ 6: Bài toán gà và chó
Đề bài: Vừa gà vừa chó có 36 con, tổng cộng 100 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
- Bước 1: Gọi số gà là x (con), x nguyên dương, x < 36. Số chó là 36 − x. Số chân gà là 2x, số chân chó là 4(36 − x). Phương trình: 2x + 4(36 − x) = 100.
- Bước 2: 2x + 144 − 4x = 100 ⇔ −2x = −44 ⇔ x = 22.
- Bước 3: x = 22 thỏa mãn. Vậy có 22 con gà và 14 con chó.
Ví dụ 7: Tìm số có hai chữ số
Đề bài: Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 3. Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được số mới bằng 4/7 số ban đầu. Tìm số ban đầu.
- Bước 1: Gọi chữ số hàng đơn vị là x, x nguyên, 0 ≤ x ≤ 6. Chữ số hàng chục là x + 3. Số ban đầu: 10(x + 3) + x = 11x + 30. Số mới: 10x + (x + 3) = 11x + 3. Phương trình: 11x + 3 = 4/7 × (11x + 30).
- Bước 2: Nhân hai vế với 7: 77x + 21 = 44x + 120 ⇔ 33x = 99 ⇔ x = 3.
- Bước 3: x = 3 thỏa mãn. Số ban đầu là 63 (số mới 36 = 4/7 × 63, đúng).
Ví dụ 8: Bài toán tuổi
Đề bài: Mẹ hơn con 24 tuổi. Hai năm nữa, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi con hiện nay.
- Bước 1: Gọi tuổi con hiện nay là x (tuổi), x nguyên dương. Tuổi mẹ là x + 24. Hai năm nữa: con x + 2 tuổi, mẹ x + 26 tuổi. Phương trình: x + 26 = 3(x + 2).
- Bước 2: x + 26 = 3x + 6 ⇔ 2x = 20 ⇔ x = 10.
- Bước 3: Con 10 tuổi, mẹ 34 tuổi. Kiểm tra: 2 năm nữa con 12, mẹ 36 = 3 × 12, đúng.
Ví dụ dạng toán hình học
Bài hình học thường dựa vào công thức chu vi, diện tích; khi diện tích tham gia, phương trình hay trở thành bậc hai.
Ví dụ 9: Biết chu vi
Đề bài: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m, chiều dài hơn chiều rộng 20 m. Tính diện tích khu vườn.
- Bước 1: Gọi chiều rộng là x (m), 0 < x < 140. Chiều dài là x + 20. Nửa chu vi là 140 m, nên x + (x + 20) = 140.
- Bước 2: 2x + 20 = 140 ⇔ x = 60.
- Bước 3: Chiều rộng 60 m, chiều dài 80 m. Diện tích: 60 × 80 = 4.800 m².
Ví dụ 10: Biết diện tích
Đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6 m và diện tích 112 m². Tính các kích thước của mảnh đất.
- Bước 1: Gọi chiều rộng là x (m), x > 0. Chiều dài là x + 6. Phương trình: x(x + 6) = 112 ⇔ x² + 6x − 112 = 0.
- Bước 2: Δ’ = 3² + 112 = 121, √Δ’ = 11. Nghiệm: x = −3 + 11 = 8 hoặc x = −3 − 11 = −14.
- Bước 3: x = −14 bị loại. Chiều rộng 8 m, chiều dài 14 m (8 × 14 = 112, đúng).
Với phương trình bậc hai như ví dụ 5 và 10, bạn có thể xem lại cách dùng công thức Delta và Delta phẩy. Còn khi đề có hai ẩn với hai mối quan hệ, hãy chuyển sang giải bằng hệ phương trình.
Lỗi thường gặp khi giải bài toán bằng cách lập phương trình
Phần lớn lỗi mất điểm không nằm ở bước giải mà ở bước đặt ẩn và kết luận.
- Quên đặt điều kiện cho ẩn hoặc đặt sai điều kiện.
- Không ghi đơn vị của ẩn và của đáp số.
- Quên đối chiếu nghiệm, nhất là khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm.
- Đổi đơn vị không thống nhất (phút và giờ, mét và kilômét).
- Nhầm thời gian "sớm hơn" và "muộn hơn" khi lập hiệu.
- Trả lời thiếu: đề hỏi diện tích nhưng chỉ ghi chiều rộng.
Câu hỏi thường gặp
Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm mấy bước?
Gồm 3 bước: lập phương trình (chọn ẩn, đặt điều kiện, biểu diễn đại lượng, lập phương trình), giải phương trình và trả lời.
Nên chọn ẩn như thế nào?
Thường chọn chính đại lượng đề bài hỏi làm ẩn. Nếu cách đó khiến phương trình rắc rối, bạn có thể chọn một đại lượng trung gian rồi tính đại lượng cần tìm sau.
Vì sao phải đặt điều kiện cho ẩn?
Điều kiện giúp loại các nghiệm không phù hợp thực tế, chẳng hạn số âm, số không nguyên hoặc chữ số lớn hơn 9.
Dạng toán này học ở lớp mấy?
Theo chương trình hiện hành, học sinh làm quen với phương trình bậc nhất ở Toán 8 và mở rộng sang phương trình bậc hai, hệ phương trình ở Toán 9.
Khi phương trình có hai nghiệm thì chọn nghiệm nào?
Chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn và phù hợp với đề bài; nghiệm còn lại phải ghi rõ là bị loại.
Khi nào nên dùng hệ phương trình thay vì phương trình?
Khi đề có hai đại lượng chưa biết và hai mối quan hệ độc lập, đặt hai ẩn và lập hệ phương trình thường dễ hơn so với cố biểu diễn mọi thứ theo một ẩn.
Kết luận
Giải bài toán bằng cách lập phương trình luôn gồm 3 bước: lập phương trình, giải phương trình và trả lời. Phần quyết định là chọn ẩn, đặt điều kiện và biểu diễn đúng các đại lượng theo ẩn dựa trên mối quan hệ của từng dạng toán. Hãy luyện lần lượt các dạng chuyển động, năng suất, số học và hình học, đồng thời luôn kiểm tra lại nghiệm với đề bài để không mất điểm đáng tiếc.
