Diện tích xung quanh hình trụ là một trong những nội dung quan trọng của môn toán hình học không gian. Vậy công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là gì? Ứng dụng của hình trụ trong đời sống thực tiễn? Mời các bạn theo dõi bài viết dưới đây của Hoàng Hà Mobile để biết thêm những thông tin thú vị nhé!
Hình trụ là gì?
Trong học phần hình học không gian, hình trụ được sử dụng phổ biến, ứng dụng vào các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh CD một vòng ta sẽ thu được một hình trụ. Theo đó, đáy của hình trụ là hình tròn bằng nhau và cùng nằm trên hai mặt phẳng song song. Trục của hình trụ là cạnh DC và đường sinh của hình trụ chính là đường cao. Dựa vào những đặc điểm này, các bạn sẽ tính được diện tích xung quanh hình trụ, diện tích toàn phần hay thể tích.
Qua cách giải thích trên chắc hẳn các bạn đã hình dung được như thế nào là hình trụ. Do hình trụ có những đặc tính riêng như khả năng chịu lực, khả năng lưu trữ không gian tốt hơn so với một số hình học khác nên các bạn sẽ bắt gặp khá nhiều hình học này. Một số vật dụng có dạng hình trụ như lon nước, đường ống nước, cột trụ.
Các công thức liên quan đến hình trụ
Như chúng tôi đã chia sẻ ở trên, hình trụ được sử dụng nhiều trong cuộc sống hàng ngày. Vì vậy, mọi người cần biết cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình học không gian này. Sau đây, chúng tôi sẽ tổng hợp công thức tính toán liên quan đến hình trụ cho các bạn tham khảo:
Diện tích xung quanh hình trụ
Trước tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính diện tích xung quanh của hình trụ tức là phần diện tích mặt bao quanh, không gồm diện tích của hai đáy. Để tính diện tích xung quanh của hình trụ, các bạn hãy lấy chu vi của đường tròn đáy rồi nhân với chiều cao.
Sxq = 2πrh
Trong đó:
- Sxq là diện tích xung quanh.
- 2πr là cách tính chu vi đường tròn đáy.
- h là chiều cao của hình trụ.
Diện tích toàn phần của hình trụ
Tính diện tích toàn phần của hình trụ sẽ bao gồm diện tích xung quanh + diện tích của hai mặt đáy. Như vậy, để tính được diện tích toàn phần của hình trụ, chúng ta sẽ lấy diện tích xung quanh rồi cộng thêm diện tích của hai mặt đáy.
Stp = 2πr^2 + 2πrh
Trong đó:
- Stp – viết tắt của cụm từ diện tích toàn phần.
- 2πr^2 là diện tích của mặt đáy (đường tròn).
- 2πrh là diện tích xung quanh của hình trụ.
Sau khi tìm hiểu công thức tính diện tích xung quanh hình trụ và diện tích toàn phần, các bạn có thể thấy cách tính khá đơn giản. Chúng tôi sẽ lấy ví dụ cụ thể để cho mọi người dễ hình dung hơn nhé!
Bài tập cho hình trụ có bán kính r = 5cm, chiều cao h = 10cm. Yêu cầu tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ.
Cách giải:
Theo dữ liệu của đề bài chúng ta đã biết được bánh kính mặt đáy và chiều cao hình trụ. Do đó, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức rồi tính toán ra kết quả. Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq = 2πrh = 1 x 3,14 x 5 x 10 = 314 cm2. Sau khi tính được diện tích xung quanh, chúng ta sẽ tìm diện tích toàn phần của hình trụ bằng Stp = 2πr^2 + 2πrh = 2 x 3,14 x 5^2 + 314 = 471 cm2.
Thể tích hình trụ
Tính thể tích hình trụ là một trong những nội dung mà các bạn cần nắm được bên cạnh cách tính diện tích xung quanh hình trụ, diện tích toàn phần. Cách tính thể tích của hình trụ cũng khá đơn giản, các bạn hãy lấy diện tích mặt đáy rồi nhân với chiều cao.
V = Πr^2h
Trong đó:
- V là ký hiệu dùng để chỉ thể tích của hình trụ.
- πr^2 là diện tích của mặt đáy.
- h là chiều cao của hình trụ.
Để giúp các bạn hiểu hơn về cách tính thể tích hình trụ, chúng tôi sẽ lấy ví dụ qua bài toán cụ thể. Chẳng hạn như cho một hình trụ có bán kính r = 5cm, chiều cao h = 10cm. Thể tích của hình trụ này sẽ bằng V = 3,14 x 5^2 x 10 = 785 cm3.
Một số bài tập về hình trụ
Hình trụ là một hình học không gian được tìm hiểu trong học phần toán hình lớp 9 và có tính ứng dụng cao. Sau khi tìm hiểu kiến thức lý thuyết, để giúp các bạn hiểu rõ hơn dạng hình học này, chúng tôi sẽ lấy bài tập minh hoạ, cụ thể:
Bài 1
Cho một hình trụ với chu vi đáy là 8π, chiều cao h = 10. Yêu cầu các bạn hãy tính thể tích của hình trụ.
- 80π
- 40π
- 160π
- 150π
Cách làm:
Để tính được thể tính hình trụ, đầu tiên ta cần tính chu vi đáy. C = 2πr = 8π => r = 4. Như vậy, thể tích hình trụ sẽ bằng V = Πr^2h = 160Π => C là đáp án chính xác của câu hỏi này.
Bài 2
Một hình trụ có mặt đáy bán kính r = 4cm, chiều cao h = 5cm. Bạn hãy tính diện tích xung quanh hình trụ đó?
- 40Π
- 30Π
- 20Π
- 50Π
Cách làm: Với bài tập này đã có đủ thông tin, dữ liệu của hình trụ, các bạn chỉ cần áp dụng công thức Sxq = 2πRh = 2π.4.5 = 40π => chọn đáp án A là chuẩn xác.
Bài 3
Tiếp tục cho một hình trụ có bán kính đáy r = 8cm và biết tích diện tích toàn phần bằng 564π cm2. Bạn hãy tính chiều cao của hình trụ rồi khoanh vào đáp án chính xác?
- 27 cm
- 27,25 cm
- 25 cm
- 25,27 cm
Cách làm: Có thể thấy dạng bài tập này đã có sự thay đổi, khác so với những bài tập trước đó. Để tính chiều cao của hình trụ, chúng ta sẽ áp dụng công thức:
Stp = 2πr^2 + 2πrh = 256 Π => 16Πh + 2Π8^2 = 564Π => h = 27,25 cm. Như vậy, tìm được chiều cao của hình trụ bằng 27,25cm -> khoanh vào đáp án B.
Bài 4
Cho một hình trụ có bán kính r và chiều cao h, nếu tăng chiều cao đồng thời giảm bán kính đáy 2 lần thì:
- Thể tích của hình trụ giữ nguyên
- Diện tích xung quanh hình trụ giữ nguyên
- Giữ nguyên diện tích toàn phần của hình trụ
- Không thay đổi chu vi đáy hình trụ
Cách làm:
Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định chiều cao mới của hình trụ = 2h và bán kính mới là r/2. Dựa vào đây, chúng ta sẽ đi tìm chu vi đáy = 2Πr’ = 2Π r/2 = Πr < 2Πr = C => D là đáp án sai.
Tiếp tục xét đến diện tích toàn phần của hình trụ:
2ΠR’h + 2ΠR’2 = 2ΠRh + ΠR2/2 khác với 2ΠRh + 2ΠR2 => B là đáp án sai
Để tính diện tích toàn phần của hình trụ ta áp dụng công thức:
2ΠR’h = 2ΠR/2.2h = 2ΠRh => C là đáp án đúng.
Bài 5
Cho một hộp sữa ông Thọ đã bỏ nắp có dạng hình trụ chiều cao h = 12cm, đường kính đáy là 8cm. Hãy tính diện tích toàn phần của hộp sữa ông Thọ.
- 110Π (cm2)
- 128Π (cm2)
- 96Π (cm2)
- 112Π (cm2)
Cách làm:
Với thông tin đã cho, chúng ta dễ dàng tính được diện tích toàn phần của hộp sữa theo công thức:
Stp = Sxq + Sd = Πdh + Π(d/2)2
= Π.8.12 + Π.(8/2)2 = 112Π (cm2)
=> Chọn D là diện tích toàn phần của hộp sữa ông Thọ đã cho.
Bài 6
Cho một hình trụ cho bán kính đáy là R và chiều cao là h. Nếu tăng chiều cao hình trụ lên hai lần đồng thời giảm bán kính hai lần thì
- Thể tích hình trụ không đổi
- Diện tích toàn phần không đổi
- Diện tích xung quanh không đổi
- Chu vi đáy không đổi
Cách làm:
Bên cạnh dạng bài tính diện tích xung quanh hình trụ, các bạn cần nắm chắc kiến thức liên quan đến dạng hình học không gian này. Đầu tiên, chúng ta sẽ đặt chiều cao mới cho hình trụ là h’ = 2h => từ đây suy ra bán kính mới của mặt đáy sẽ là R’ = R/2.
Theo đó, hình trụ mới có chu vi đáy 2ΠR’ = 2ΠR/2 = ΠR < 2ΠR = C => đáp án D không chính xác.
Diện tích toàn phần của hình trụ mới được xác định: 2ΠR’h + 2ΠR2 = 2ΠRh + ΠR2/2 khác với 2ΠR2 => Đáp án B cũng chưa chính xác.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tính thể tích của hình trụ mới: ΠR’2h = ΠR2h/ 4 khác với ΠR2h => A cũng là đáp án chưa chính xác.
Cuối cùng, chúng ta sẽ tính diện tích xung quanh của hình trụ mới:
2ΠR’h = 2ΠR/2.2h = 2ΠRh => C là đáp án chính xác.
Bài 7
Cho hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là h. Nếu giảm đi chiều cao 9 lần đồng thời tăng bán kính đáy lên 3 lần thì:
- Thể tích hình trụ không đổi
- Diện tích toàn phần không đổi
- Diện tích xung quanh không đổi
- Chu vi đáy không đổi
Cách làm:
Tương tự như trên, ở dạng bài này ta phải xét hình trụ mới trong từng trường hợp. Đầu tiên xác định hình trụ mới có chiều cao h’ = h/9 và bán kính đáy mới là R’ = 3R.
Từ đây, chúng ta xác định hình trụ mới có chu vi đáy bằng: 2ΠR’ = 2Π3R = 6ΠR = 3.2ΠR = 3C => D là đáp án chưa tính xác.
Tiếp theo, tính diện tích toàn phần của hình trụ mới sẽ bằng 2ΠR’h + 2ΠR’2 = 2Π3Rh/9 + 2Π (3R) = 2ΠRh/3 + 6ΠRh + 2ΠR2 => B cũng là đáp án chưa chính xác.
Thể tích của hình trụ mới sẽ bằng ΠR’2h’ = Π(3R)2h/9 = ΠR2h => A là đáp án đúng.
Như vậy đáp án đúng là A, tuy nhiên để biết tại sao đáp án C sai thì chúng ta tiếp tục tính toán. Diện tích xung quanh hình trụ mới sẽ bằng 2ΠR’h’ – 2Π.3R.h/9 = 2ΠRh/3 khác với 2ΠRh, do đó C là đáp án sai.
Bài 8
Cho một hình trụ có bán kính đáy được xác định bằng 1/4 đường cao. Nếu cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng đi qua trụ thì mặt cắt sẽ có hình chữ nhật với diện tích là 50cm2. Anh/ chị hãy tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của hình trụ đó.
Cách làm:
Theo giả thiết xác định được bán kính R = 1/4 h mà diện tích hình chữ nhật = h.2R = 50cm2. Dựa vào đây ta có diện tích hình chữ nhật = (2.1/4 h).h = 50 => h2 = 100 => h = 10cm. => r = 1/4h = 1/4.10 = 5/2cm.
Do đó, thể tích của hình trụ sẽ bằng ΠR2h = Π(5/2)2. 10 = 62,5Π (cm3)
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng 2Πrh = 2Π5/2.10 = 50Π (cm2)
Tạm Kết
Như vậy, chúng tôi đã chia sẻ cách tính diện tích xung quanh hình trụ và các kiến thức liên quan cho các bạn tham khảo. Mong rằng những thông tin trên giúp các bạn có thêm kiến thức, kỹ năng để giải các bài tập về hình trụ. Hãy tiếp tục bấm theo dõi fanpage Hoàng Hà Mobile và kênh Youtube Hoàng Hà Channel để không bỏ lỡ những thông tin thú vị nhé!
XEM THÊM:
