Bảng công thức đạo hàm cơ bản gồm: (C)’ = 0, (xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹, (sin x)’ = cos x, (cos x)’ = −sin x, (tan x)’ = 1/cos²x, (eˣ)’ = eˣ, (ln x)’ = 1/x, cùng các quy tắc tổng, tích, thương và đạo hàm hàm hợp (u)’ theo x. Bài viết tổng hợp đầy đủ bảng đạo hàm của hàm số sơ cấp, đạo hàm lượng giác, mũ – logarit, đạo hàm cấp cao, kèm ví dụ tính từng bước theo chương trình Toán lớp 11.
Tóm tắt nhanh:
- Quy tắc: (u ± v)’ = u’ ± v’; (uv)’ = u’v + uv’; (u/v)’ = (u’v − uv’)/v².
- Hàm hợp: y = f(u(x)) thì y’ = f'(u)·u’.
- Lượng giác: (sin u)’ = u’·cos u; (cos u)’ = −u’·sin u; (tan u)’ = u’/cos²u; (cot u)’ = −u’/sin²u.
- Mũ – logarit: (eᵘ)’ = u’·eᵘ; (aᵘ)’ = u’·aᵘ·ln a; (ln u)’ = u’/u; (logₐu)’ = u’/(u·ln a).
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là giới hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của biến số khi số gia biến số dần về 0:
f'(x₀) = limΔx→0 Δy/Δx = limx→x₀ [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)
Ý nghĩa: đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. Về hình học, f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x₀; về vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc tức thời.
Quy tắc tính đạo hàm
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Tổng, hiệu | (u ± v)’ = u’ ± v’ |
| Tích | (u·v)’ = u’·v + u·v’ |
| Hằng số nhân | (k·u)’ = k·u’ |
| Thương | (u/v)’ = (u’·v − u·v’) / v² (v ≠ 0) |
| Nghịch đảo | (k/u)’ = −k·u’ / u² |
| Hàm hợp | y’ₓ = y’ᵤ · u’ₓ |
Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm | Hàm hợp y = f(u) | Đạo hàm |
|---|---|---|---|
| C (hằng số) | 0 | ||
| x | 1 | ||
| xα | α·xα−1 | uα | α·uα−1·u’ |
| √x | 1 / (2√x) | √u | u’ / (2√u) |
| 1/x | −1 / x² | 1/u | −u’ / u² |
| sin x | cos x | sin u | u’·cos u |
| cos x | −sin x | cos u | −u’·sin u |
| tan x | 1/cos²x = 1 + tan²x | tan u | u’ / cos²u |
| cot x | −1/sin²x = −(1 + cot²x) | cot u | −u’ / sin²u |
| eˣ | eˣ | eᵘ | u’·eᵘ |
| aˣ | aˣ·ln a | aᵘ | u’·aᵘ·ln a |
| ln x | 1/x | ln u | u’/u |
| logₐx | 1 / (x·ln a) | logₐu | u’ / (u·ln a) |
Công thức tính nhanh cho hàm phân thức: (ax + b)/(cx + d) có đạo hàm (ad − bc)/(cx + d)²; (ax² + bx + c)/(ex + f) có đạo hàm (aex² + 2afx + bf − ce)/(ex + f)². Hai bài riêng về đạo hàm của 1/x và đạo hàm e mũ u có ví dụ chi tiết hơn.
Đạo hàm của hàm số lượng giác
Đạo hàm của sin x được chứng minh từ định nghĩa: sin(x + h) − sin x = 2cos(x + h/2)·sin(h/2), chia cho h và cho h → 0, dùng giới hạn sin t / t → 1, ta được (sin x)’ = cos x. Các hàm còn lại suy ra bằng quy tắc thương, ví dụ tan x = sin x / cos x nên (tan x)’ = (cos²x + sin²x)/cos²x = 1/cos²x.
Bảng trên có thêm đạo hàm của các hàm lượng giác ngược: (arcsin x)’ = 1/√(1 − x²), (arccos x)’ = −1/√(1 − x²), (arctan x)’ = 1/(1 + x²). Các công thức biến đổi lượng giác cần dùng khi rút gọn đạo hàm có trong bài bảng công thức lượng giác.
Công thức đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1, ký hiệu y⁽ⁿ⁾. Một số công thức thường dùng:
- (xᵐ)⁽ⁿ⁾ = m(m − 1)…(m − n + 1)·xᵐ⁻ⁿ nếu m ≥ n; bằng 0 nếu m nguyên dương và m < n.
- (eᵏˣ)⁽ⁿ⁾ = kⁿ·eᵏˣ; (aˣ)⁽ⁿ⁾ = (ln a)ⁿ·aˣ.
- (sin ax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ·sin(ax + nπ/2); (cos ax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ·cos(ax + nπ/2).
- (ln x)⁽ⁿ⁾ = (−1)ⁿ⁻¹·(n − 1)! / xⁿ.
- [1/(ax + b)]⁽ⁿ⁾ = (−1)ⁿ·aⁿ·n! / (ax + b)ⁿ⁺¹. Ví dụ [1/(2x + 1)]”’ = −48/(2x + 1)⁴.
Ví dụ tính đạo hàm có lời giải
Ví dụ 1 (đa thức): y = x³ − 3x² + 2 ⇒ y’ = 3x² − 6x.
Ví dụ 2 (phân thức): y = (2x + 1)/(x − 1) ⇒ y’ = (2·(−1) − 1·1)/(x − 1)² = −3/(x − 1)².
Ví dụ 3 (tích): y = x·sin x ⇒ y’ = sin x + x·cos x.
Ví dụ 4 (hàm hợp lượng giác): y = sin 2x ⇒ y’ = 2cos 2x; y = tan 3x ⇒ y’ = 3/cos²3x; y = cos³x ⇒ y’ = −3cos²x·sin x.
Ví dụ 5 (căn, mũ, logarit): y = √(3x + 1) ⇒ y’ = 3/(2√(3x + 1)); y = ex² ⇒ y’ = 2x·ex²; y = ln(x² + 1) ⇒ y’ = 2x/(x² + 1); y = 2ˣ ⇒ y’ = 2ˣ·ln 2.
Ví dụ 6 (vận tốc): Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = 5t² − 3t + 2 (mét, giây). Vận tốc v(t) = s'(t) = 10t − 3, tại t = 2 giây là v = 17 m/s; gia tốc a(t) = v'(t) = 10 m/s².
Muốn kiểm tra nhanh kết quả, có thể dùng máy tính cầm tay theo bài cách bấm máy tính đạo hàm, lim.
Ứng dụng của đạo hàm
- Xét tính đơn điệu: y’ > 0 trên một khoảng thì hàm đồng biến, y’ < 0 thì nghịch biến, xem bài tính đơn điệu của hàm số.
- Tìm cực trị, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất: giải y’ = 0 và xét dấu y’.
- Viết phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
- Vật lý: vận tốc là đạo hàm của quãng đường, gia tốc là đạo hàm của vận tốc.
- Kinh tế, kỹ thuật: tìm mức sản lượng làm chi phí nhỏ nhất hoặc lợi nhuận lớn nhất.
Mẹo ghi nhớ bảng đạo hàm
- Học theo cặp: mỗi công thức của x đi kèm công thức của u, chỉ cần nhân thêm u’.
- Nhớ dấu trừ ở nhóm “co”: cos, cot đều có đạo hàm mang dấu âm.
- Tự chứng minh lại tan, cot từ quy tắc thương thay vì học thuộc máy móc.
- Làm ít nhất 10 bài hàm hợp mỗi ngày trong tuần đầu.
Bài đạo hàm lớp 11 có thêm hệ thống bài tập theo từng dạng.
Câu hỏi thường gặp
Bảng công thức đạo hàm cơ bản gồm những gì?
Gồm đạo hàm của hằng số, xⁿ, √x, 1/x, sin x, cos x, tan x, cot x, eˣ, aˣ, ln x, logₐx và các dạng hàm hợp tương ứng của u, cùng quy tắc tổng, tích, thương.
Đạo hàm của sin x là gì?
(sin x)’ = cos x; với hàm hợp, (sin u)’ = u’·cos u, ví dụ (sin 2x)’ = 2cos 2x.
Đạo hàm của tan x là gì?
(tan x)’ = 1/cos²x = 1 + tan²x, với cos x ≠ 0.
Công thức đạo hàm của một thương là gì?
(u/v)’ = (u’·v − u·v’)/v², với v ≠ 0.
Đạo hàm hàm hợp tính thế nào?
Nếu y = f(u) với u = u(x) thì y’ = f'(u)·u’. Ví dụ y = (x² + 1)³ thì y’ = 3(x² + 1)²·2x.
Đạo hàm học ở lớp mấy?
Đạo hàm được học ở Toán lớp 11 và dùng để khảo sát hàm số ở Toán lớp 12.
Kết luận
Bảng công thức đạo hàm chỉ gồm khoảng 13 công thức cơ bản và 6 quy tắc; nắm chắc cặp công thức x – u và quy tắc hàm hợp là tính được đạo hàm của hầu hết hàm số trong chương trình phổ thông. Hãy luyện các ví dụ ở trên, rồi chuyển sang ứng dụng xét tính đơn điệu và cực trị để thấy rõ vai trò của đạo hàm.
