Công thức cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q gọi là công bội. Công thức cấp số nhân quan trọng nhất là số hạng tổng quát: u(n) = u(1) × q^(n-1). Nhờ đó bạn tìm được số hạng bất kỳ khi biết u(1) và q. Dưới đây là trọn bộ công thức lớp 11: định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu, tổng lùi vô hạn, so sánh với cấp số cộng, 6 bài tập có lời giải và các lỗi hay mắc.
Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là dãy số (u(n)) thỏa mãn u(n) = u(n-1) × q với mọi n lớn hơn hoặc bằng 2, trong đó hằng số q gọi là công bội. Tỉ số hai số hạng liên tiếp luôn không đổi: q = u(n) / u(n-1). Dựa vào công bội, cấp số nhân có thể tăng, giảm hoặc thay đổi dấu giữa các số hạng. Đây là một dạng dãy số quan trọng, thường xuất hiện trong các bài toán về số hạng, tổng và sự tăng trưởng theo cấp số.
Ví dụ dãy 3, 6, 12, 24, 48 có tỉ số luôn bằng 2, là cấp số nhân với u(1) = 3 và q = 2. Dãy 3, -6, 12, -24 có q = -2 nên đổi dấu xen kẽ. Nếu q = 1, các số hạng sẽ không thay đổi; còn khi q = 0, từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng 0.
Điều kiện để một dãy là cấp số nhân:
- u(1) khác 0: nếu u(1) = 0 thì mọi số hạng sau đều bằng 0.
- q khác 0: nếu q = 0 thì tỉ số u(n) / u(n-1) không xác định.
Công thức cấp số nhân hạng tổng quát
Với số hạng đầu u(1) và công bội q:
u(n) = u(1) × q^(n-1)
Cách hiểu: Từ u(1) đến u(n) ta nhân với q đúng n – 1 lần, nên số mũ là n – 1 chứ không phải n.
Ví dụ: u(1) = 5, q = 3 thì u(6) = 5 × 3^5 = 5 × 243 = 1215.
| Ký hiệu | Ý nghĩa | Ghi chú |
| u(1) | Số hạng đầu | Khác 0 |
| q | Công bội | Khác 0, có thể âm |
| n | Vị trí số hạng cần tìm | Nguyên dương |
| u(n) | Số hạng thứ n | Kết quả cần tính |
Tính chất của công thức cấp số nhân
u(k)² = u(k-1) × u(k+1), với mọi k lớn hơn hoặc bằng 2.
Chứng minh: vì u(k) = u(k-1) × q và u(k+1) = u(k) × q nên u(k-1) × u(k+1) = u(k-1) × u(k) × q = u(k) × u(k) = u(k)². Ví dụ với 2, 6, 18: có 6² = 36 và 2 × 18 = 36.
Đây là công cụ để chứng minh ba số lập thành cấp số nhân: với ba số a, b, c khác 0, chỉ cần kiểm tra b² = a × c. Ngược lại, khi đề cho biết ba số lập thành cấp số nhân, hãy viết ngay b² = a × c để tìm ẩn rồi thử lại nghiệm.
Công thức tính tổng n số hạng đầu
Gọi S(n) = u(1) + u(2) + … + u(n).
Khi q khác 1: S(n) = u(1) × (1 – q^n) / (1 – q)
Dạng tương đương (nhân tử và mẫu với -1):
S(n) = u(1) × (q^n – 1) / (q – 1)
Ví dụ: u(1) = 2, q = 3 thì S(6) = 2 × (3^6 – 1) / (3 – 1) = 728. Cộng trực tiếp 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 cũng được 728.
Trường hợp riêng q = 1: S(n) = n × u(1)
Phải tách riêng vì khi q = 1 thì mẫu thức 1 – q bằng 0. Lúc đó mọi số hạng đều bằng u(1) nên tổng là n lần u(1). Ví dụ u(1) = 7, q = 1 thì S(5) = 5 × 7 = 35.
Vậy khi đề chưa cho biết q, hãy xét cả hai khả năng, giống thói quen biện luận ở bài cách tính căn bậc 2.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Công thức cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có |q| < 1, tức -1 < q < 1 và q khác 0. Tổng của nó là:
S = u(1) / (1 – q)
Điều kiện |q| < 1 là bắt buộc. Chỉ khi đó q^n mới tiến về 0 và tổng mới hội tụ về giá trị hữu hạn. Nếu |q| lớn hơn hoặc bằng 1, công thức không áp dụng được.
Ví dụ: dãy 1, 1/2, 1/4, 1/8, … có q = 1/2 nên S = 1 / (1 – 1/2) = 2. Ngược lại, dãy 1, 2, 4, 8, … có q = 2 nên tổng vô hạn không tồn tại.
Phân biệt công thức cấp số nhân và cấp số cộng
Cấp số cộng và cấp số nhân đều mô tả một dãy số có quy luật, nhưng cách các số hạng thay đổi lại hoàn toàn khác nhau. Sự khác biệt này thường gây nhầm lẫn khi nhận dạng hoặc áp dụng công thức vào bài tập. Phần dưới đây sẽ đặt 2 dạng dãy số cạnh nhau để làm rõ đặc điểm cần chú ý.
| Tiêu chí | Cấp số cộng | Cấp số nhân |
| Quy luật | u(n) = u(n-1) + d | u(n) = u(n-1) × q |
| Hằng số | Công sai d | Công bội q |
| Nhận biết | Hiệu không đổi | Tỉ số không đổi |
| Số hạng tổng quát | u(n) = u(1) + (n-1) × d | u(n) = u(1) × q^(n-1) |
| Ba số liên tiếp | 2 × u(k) = u(k-1) + u(k+1) | u(k)² = u(k-1) × u(k+1) |
| Tổng n số hạng đầu | S(n) = n × (u(1) + u(n)) / 2 | S(n) = u(1) × (1 – q^n) / (1 – q) |
| Tổng vô hạn | Không tồn tại | Tồn tại khi |q| < 1 |
Gặp dãy lạ, hãy lấy hiệu hai số hạng liên tiếp: hiệu không đổi là cấp số cộng. Hiệu thay đổi thì lấy tỉ số, tỉ số không đổi là cấp số nhân. Xem thêm bài công thức tính tổng dãy số cách đều.
Bài tập vận dụng có lời giải công thức cấp số nhân
Sau khi nắm được đặc điểm và công thức của từng dạng, việc làm bài tập sẽ giúp củng cố kiến thức hiệu quả hơn. Các bài tập dưới đây được sắp xếp theo mức độ phù hợp, kết hợp giữa nhận biết quy luật và áp dụng công thức. Phần lời giải đi kèm giúp người học theo dõi cách thực hiện và tự kiểm tra kết quả.
Bài 1: Tìm số hạng khi công bội âm
Đề: Cho u(1) = 3 và q = -2. Tính u(7).
Giải: u(7) = 3 × (-2)^6. Số mũ 6 chẵn nên (-2)^6 = 64, vậy u(7) = 192.
Bài 2: Tìm công bội và số hạng đầu
Đề: Cho u(3) = 12 và u(5) = 48. Tìm u(1) và q.
Giải: u(1) × q² = 12 và u(1) × q^4 = 48. Lập tỉ số vế theo vế để khử u(1): q² = 4, suy ra q = 2 hoặc q = -2. Cả hai đều cho u(1) = 12 / 4 = 3, nên bài có hai đáp số.
Bài 3: Tính tổng n số hạng đầu
Đề: Cho u(1) = 2 và q = 2. Tính S(8).
Giải: Vì q khác 1 nên S(8) = 2 × (2^8 – 1) / (2 – 1) = 2 × 255 = 510.
Bài 4: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Đề: Tính tổng của dãy 6, 2, 2/3, 2/9, …
Giải: q = 2 / 6 = 1/3, kiểm tra cặp sau (2/3) / 2 = 1/3 nên tỉ số không đổi. Vì |1/3| < 1 nên S = 6 / (1 – 1/3) = 9.
Bài 5: Chứng minh ba số lập thành cấp số nhân
Đề: Tìm x để ba số x, x + 3, x + 9 theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Giải: Điều kiện là (x + 3)² = x × (x + 9), tức x² + 6x + 9 = x² + 9x. Rút gọn: 6x + 9 = 9x, suy ra x = 3. Thử lại: ba số là 3, 6, 12 và 6² = 3 × 12 = 36. Vậy x = 3.
Bài 6: Bài toán lãi kép
Đề: Một người gửi 100 triệu đồng theo lãi kép, lãi suất 6% một năm không đổi. Sau 5 năm người đó có bao nhiêu tiền?
Giải: Gọi A(n) là số tiền sau n năm. Mỗi năm số tiền được nhân với 1,06 nên đây là cấp số nhân có q = 1,06 và A(n) = 100 × 1,06^n (triệu đồng). Với n = 5: 1,06^5 ≈ 1,338226 nên A(5) ≈ 133,82 triệu đồng.
Những lỗi thường gặp khi làm bài cấp số nhân
Khi làm bài công thức cấp số nhân, nhiều lỗi không xuất phát từ việc không nhớ công thức mà do bỏ sót điều kiện hoặc áp dụng công thức chưa đúng trường hợp. Đặc biệt, các bài tính tổng, tìm công bội và xác định số hạng thường có những chi tiết nhỏ dễ gây mất điểm. Kiểm tra lại điều kiện trước khi thay số sẽ giúp hạn chế những sai sót này.
- Quên xét q = 1 khi tính tổng: Công thức S(n) = u(1) × (1 – q^n) / (1 – q) có mẫu bằng 0 nếu q = 1. Khi đó phải dùng S(n) = n × u(1).
- Bỏ qua điều kiện |q| < 1: Công thức S = u(1) / (1 – q) chỉ dùng cho cấp số nhân lùi vô hạn. Nếu |q| >= 1, tổng vô hạn không hội tụ theo công thức này.
- Nhầm số mũ n với n – 1: Số hạng thứ n là u(1) × q^(n-1). Đây là lỗi thường gặp khi thay giá trị n vào công thức số hạng tổng quát.
- Nhầm với cấp số cộng: Thấy dãy tăng đều là vội dùng công thức cộng. Cần kiểm tra tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp trước khi xác định đó là cấp số nhân hay cấp số cộng.
- Quên nghiệm âm của công bội và sai dấu khi q âm: Từ q² = 4 phải nhận cả q = 2 và q = -2. Với q âm, q^(n-1) dương khi n – 1 chẵn và âm khi n – 1 lẻ, vì vậy cần kiểm tra dấu của từng số hạng.
- Bỏ quên điều kiện u(1) khác 0 và q khác 0: Khi giải bài bằng tỉ số q = u(n) / u(n-1), cần kiểm tra điều kiện để phép chia có nghĩa. Sau khi tìm được nghiệm, nên thay ngược vào dữ kiện ban đầu để kiểm tra lại kết quả. Hãy giữ thói quen thử lại nghiệm như ở bài công thức chỉnh hợp.
Kết luận
Công thức cấp số nhân xoay quanh bốn công thức: u(n) = u(1) × q^(n-1); u(k)² = u(k-1) × u(k+1); S(n) = u(1) × (1 – q^n) / (1 – q) với trường hợp riêng S(n) = n × u(1) khi q = 1; và S = u(1) / (1 – q) khi |q| < 1. Nhớ điều kiện áp dụng quan trọng ngang với nhớ công thức. Hãy luyện lại 6 bài tập trên và kiểm tra kết quả bằng cách liệt kê vài số hạng đầu.
Câu hỏi thường gặp về cấp số nhân
Công thức cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q gọi là công bội, với u(1) khác 0 và q khác 0. Ví dụ dãy 3, 6, 12, 24, 48 có q = 2.
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là gì?
Số hạng tổng quát là u(n) = u(1) × q^(n-1). Số mũ là n – 1 vì từ u(1) đến u(n) ta nhân với q đúng n – 1 lần.
Công thức tính tổng n số hạng đầu là gì?
Khi q khác 1, S(n) = u(1) × (1 – q^n) / (1 – q), hoặc dạng tương đương S(n) = u(1) × (q^n – 1) / (q – 1).
Nếu công bội q = 1 thì tính tổng thế nào?
Khi q = 1, mẫu thức 1 – q bằng 0 nên phải dùng công thức riêng S(n) = n × u(1), vì lúc đó mọi số hạng đều bằng u(1).
Công thức cấp số nhân lùi vô hạn là gì?
Đó là cấp số nhân vô hạn có |q| nhỏ hơn 1, tổng bằng S = u(1) / (1 – q). Điều kiện |q| nhỏ hơn 1 là bắt buộc vì chỉ khi đó tổng mới hội tụ.
Làm sao chứng minh ba số lập thành cấp số nhân?
Với ba số a, b, c khác 0, ta kiểm tra đẳng thức b² = a × c. Ví dụ 6² = 36 và 2 × 18 = 36 nên 2, 6, 18 lập thành cấp số nhân.
Cấp số nhân khác cấp số cộng ở điểm nào?
Cấp số cộng cộng thêm công sai d với u(n) = u(1) + (n-1) × d, còn cấp số nhân nhân với công bội q và u(n) = u(1) × q^(n-1).
Xem thêm:
