Hệ phương trình là tập hợp gồm hai hay nhiều phương trình có chung các ẩn số; nghiệm của hệ là bộ giá trị các ẩn thỏa mãn đồng thời tất cả các phương trình trong hệ. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng cơ bản nhất, thường được giải bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Đây là kiến thức quan trọng của Toán lớp 9. Bài viết này trình bày các phương trình là gì, phương pháp thế, phương pháp cộng, ví dụ và bài tập có lời giải.
Hệ phương trình là gì?
Hệ các phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình bậc nhất với hai ẩn x và y, có dạng tổng quát: ax + by = c và a’x + b’y = c’. Nghiệm của hệ là cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Một hệ có thể có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
Phương pháp thế
Phương pháp thế là một phương pháp giải hệ các phương trình bằng cách biến đổi một phương trình để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại, sau đó thay thế vào phương trình kia để đưa hệ về phương trình chỉ chứa một ẩn.
Các bước thực hiện phương pháp thế:
- Bước 1: Chọn một phương trình trong hệ và biến đổi để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.
- Bước 2: Thay biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại của hệ, từ đó thu được phương trình chỉ có một ẩn.
- Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được, sau đó thay giá trị của ẩn đó vào biểu thức ở bước 1 để tìm ẩn còn lại.
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là cặp giá trị của hai ẩn thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình ban đầu.
Phương pháp cộng đại số
Phần này giúp người học làm quen với cách biến đổi, kết hợp các biểu thức và vận dụng các quy tắc toán học một cách linh hoạt để xử lý bài toán. Nội dung được trình bày theo hướng tổng quan, giúp xây dựng nền tảng kiến thức và hỗ trợ quá trình học tập hiệu quả hơn.
Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với số thích hợp (nếu cần) để hệ số của một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình để khử một ẩn, được phương trình một ẩn.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn rồi tìm ẩn còn lại.
Ví dụ giải hệ phương trình
Ví dụ 1 (phương pháp thế): Giải hệ x + y = 5 và x − y = 1. Từ phương trình đầu: x = 5 − y; thế vào phương trình sau: (5 − y) − y = 1, nên 5 − 2y = 1, y = 2, x = 3. Nghiệm (3; 2).
Ví dụ 2 (phương pháp cộng): Giải hệ 2x + y = 7 và x − y = 2. Cộng hai phương trình: 3x = 9, x = 3; thay vào: y = 1. Nghiệm (3; 1).
Bài tập vận dụng có lời giải
Bài 1: Giải hệ x + y = 10 và x − y = 4. Lời giải: cộng hai phương trình: 2x = 14, x = 7; suy ra y = 3. Nghiệm (7; 3).
Bài 2: Giải hệ 3x + 2y = 12 và x = 2. Lời giải: thế x = 2 vào: 6 + 2y = 12, y = 3. Nghiệm (2; 3).
Bài 3: Giải hệ 2x + y = 5 và 4x + 2y = 10. Lời giải: phương trình thứ hai gấp đôi phương trình đầu, nên hệ có vô số nghiệm.
Bài 4 (trắc nghiệm): Nghiệm của hệ x + y = 6 và x − y = 2 là gì? A. (4; 2) B. (2; 4) C. (3; 3) D. (5; 1). Đáp án: A, vì x = 4, y = 2.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bước 1: Chọn các ẩn cần tìm và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn đó.
- Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo các ẩn đã chọn, dựa vào mối quan hệ giữa các dữ kiện trong bài toán. Từ đó lập hệ các phương trình mô tả bài toán.
- Bước 3: Giải hệ phương trình vừa lập để tìm giá trị của các ẩn.
- Bước 4: Kiểm tra các giá trị tìm được có thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không, sau đó đưa ra kết luận phù hợp với yêu cầu của bài toán.
Phương pháp này thường được áp dụng để giải các bài toán thực tế liên quan đến chuyển động, năng suất lao động, tỉ lệ, phần trăm, hoặc tìm hai số khi biết tổng và hiệu.
Số nghiệm của hệ phương trình
Xét hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình: nếu hai đường thẳng cắt nhau thì hệ có một nghiệm duy nhất; nếu hai đường thẳng song song thì hệ vô nghiệm; nếu hai đường thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm. Đây là ý nghĩa hình học giúp hiểu rõ về nghiệm của hệ các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu hỏi thường gặp về hệ phương trình
Hệ phương trình là gì?
Là tập hợp hai hay nhiều phương trình có chung ẩn số; nghiệm thỏa mãn đồng thời tất cả các phương trình.
Có mấy phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
Hai phương pháp chính: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
Phương pháp thế thực hiện thế nào?
Biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Khi nào hệ phương trình vô nghiệm?
Khi hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình song song với nhau.
Khi nào hệ có vô số nghiệm?
Khi hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình trùng nhau.
Ngoài hệ hai phương trình bậc nhất, bạn sẽ gặp lại việc lập hệ phương trình khi tìm giao điểm giữa một đường thẳng và một parabol ở chương trình lớp 10.
Kết luận
Tóm lại, hệ phương trình gồm nhiều phương trình chung ẩn; hệ bậc nhất hai ẩn giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Nắm vững hai phương pháp này giúp bạn giải nhanh và biện luận số nghiệm của hệ. Để học thêm, mời bạn tham khảo các bài tập hợp số nguyên Z là gì, công thức tổ hợp, chỉnh hợp và công thức tính diện tích tam giác trên chuyên mục tin tức của Hoàng Hà Mobile.
Xem thêm:
