Ở mức độ cơ bản, tỉ số lượng giác được sử dụng để giải các vấn đề hình học, như tính toán chiều dài các cạnh và đo góc trong tam giác vuông. Ngoài ra, chúng còn xuất hiện trong nhiều ứng dụng thực tế từ kỹ thuật và vật lý đến máy tính và nghệ thuật đồ họa. Trong lĩnh vực vật lý, tỉ số lượng giác giúp mô tả các quy luật đối với các vấn đề như dao động và sóng. Trong công nghệ, chúng được tích hợp trong các hệ thống điều khiển tự động, đặc biệt là trong việc điều khiển vị trí của các thiết bị như robot. Trong bài viết hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu bảng công thức lượng giác đầy đủ cũng như những ứng dụng sâu rộng của nó trong cuộc sống.
Khái niệm tỉ số lượng giác
Tỉ số lượng giác của một góc nhọn là một khái niệm trong lượng giác được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác vuông và góc tương ứng. Tỉ số lượng giác được định nghĩa bằng phép chia của các cạnh trong tam giác vuông. Trong tam giác vuông, có bốn tỉ số lượng giác chính được xác định:
1. Tỉ số sin: Tỉ số sin của một góc (x) trong tam giác vuông bằng độ dài cạnh đối của góc chia cho độ dài cạnh huyền.
Công thức: sin(x) = cạnh đối/huyền
2. Tỉ số cos: Tỉ số cos của một góc (x) trong tam giác vuông bằng độ dài cạnh kề góc chia cho độ dài cạnh huyền.
Công thức: cos(x) = cạnh kề/huyền
3. Tỉ số tan: Tỉ số tan của một góc (x) trong tam giác vuông bằng độ dài cạnh đối của góc chia cho độ dài cạnh kề góc.
Công thức: tan(x) = cạnh đối/cạnh kề
4. Tỉ số cot: Tỉ số cot của một góc (x) trong tam giác vuông bằng độ dài liền kề chia cho độ dài cạnh đối của góc.
Công thức: cot(x) = cạnh kề/cạnh đối
Các tỉ số lượng giác này được ứng dụng để tính toán các giá trị góc, cạnh hoặc các quan hệ giữa chúng trong tam giác vuông. Chúng cũng được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như toán học, vật lý, địa hình và kỹ thuật. Về ứng dụng của các tỉ số này chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn trong nội dung cuối. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ lần lượt điểm qua một loạt các công thức lượng giác thường gặp nhé.
Công thức lượng giác cơ bản
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
1/(sin^2(x)) = 1+ cot^2(x)
1/(cos^2(x)) = 1+ tan^2(x)
tan(x).cot(x) = 1
cot(x) = cos(x)/sin(x)
tan(x) = sin(x)/cos(x)
Công thức cộng lượng giác
sin(a+b) = sin(a).cos(b) + cos(a).sin(b)
sin(a-b) = sin(a).cos(b) – cos(a).sin(b)
cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b)
cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b)) / (1 – tan(a).tan(b))
tan(a-b) = (tan(a)-tan(b)) / (1 + tan(a).tan(b))
Công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích
cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)
cos(a) – cos(b) = -2sin((a+b)/2).sin((a-b)/2)
sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2).cos((a-b)/2)
sin(a) – sin(b) = 2cos((a+b)/2).sin((a-b)/2)
Công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng
cos(a).cos(b) = 1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]
sin(a).sin(b) = -1/2[cos(a+b) – cos(a-b)]
sin(a).cos(b) = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b)]
Các công thức nhân góc
Các công thức nhân lượng giác này được sử dụng để đơn giản hóa và tính toán các giá trị lượng giác nhân 2, nhân 3 của một góc dựa trên giá trị lượng giác của góc ban đầu.
Công thức nhân đôi
Có ba công thức đôi lượng giác nhân đôi tương ứng với các tỉ số lượng giác sin, cos và tan:
Công thức sin nhân đôi: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Công thức cos nhân đôi: cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x) = 2cos^2(x) – 1 = 1 – 2sin^2(x)
Công thức tan nhân đôi: tan(2x) = (2tan(x))/(1 – tan^2(x))
Công thức nhân ba
Có hai công thức lượng giác nhân ba chính, tương ứng với các tỉ số lượng giác sin và cos:
Công thức sin nhân ba: sin(3x) = 3sin(x) – 4sin^3(x)
Công thức cos nhân ba: cos(3x) = 4cos^3(x) – 3cos(x)
Công thức tan nhân ba: tan(3x) = (3tan(x) – tan^3(x))/(1 – 3tan^2(x))
Phép tính lượng giác các cung đặc biệt
Công thức lượng giác của các cung đặc biệt là các phép tính lượng giác áp dụng cho các góc đặc biệt như góc 0 độ, 90 độ và 180 độ. Các phép tính lượng giác của các cung đặc biệt giúp tính toán nhanh chóng các giá trị lượng giác của các góc cụ thể mà không cần dùng đến bảng giá trị hoặc máy tính. Điều này tiết kiệm thời gian và giúp tăng tốc độ giải các bài toán lượng giác. Có ba phép tính lượng giác của các cung liên quan đặc biệt, được sử dụng để tính toán các giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
Phép tính lượng giác của cung nửa đường tròn:
- sin(π/2) = 1
- cos(π/2) = 0
- tan(π/4) = 1
Khi xét một cung đầy độ trong hình tròn đơn vị, ta có:
- sin(π) = 0
- cos(π) = -1
- tan(π/2) = không tồn tại
Phép tính lượng giác của cung 0:
- sin(0) = 0
- cos(0) = 1
- tan(0) = 0
Công thức lượng giác các cung liên quan
Ngoài các phép tính lượng giác cơ bản, phép tính lượng giác các cung liên quan cũng là một phần quan trọng của toán học và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Dưới đây là một số phép tính lượng giác các cung liên quan khá quan trọng.
Công thức lượng giác hai cung đối nhau
Phép tính lượng giác hai cung đối nhau là một công thức quan trọng trong lượng giác, hữu ích trong việc giải các bài toán lượng giác và xác định giá trị của các cung trong các tương quan hình học và vật lý. Cụ thể, công thức này áp dụng cho các cung bù nhau tức là tổng hai góc 0 độ. Có hai phép tính lượng giác hai cung đối nhau chính cho sin và cos, sau đó phát triển thêm công thức cho tan và cot.
Phép tính lượng giác hai cung đối nhau cho sin: sin(-x) = -sin(x)
Ví dụ: sin(-π/6) = -sin(π/6)
Phép tính lượng giác hai cung đối nhau cho cos: cos(-x) = cos(x)
Ví dụ: cos(-π/4) = cos(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung đối nhau cho tan: tan(-x) = -tan(x)
Ví dụ: tan(-π/4) = -tan(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung đối nhau cho cot: cot(-x) = -cot(x)
Ví dụ: cot(-π/4) = -cot(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung bù nhau
Công thức tính lượng giác hai cung bù nhau áp dụng cho các cung có tổng hai gốc bằng π hoặc bằng 180 độ. Có hai phép tính lượng giác hai cung đối nhau chính cho sin và cos, sau đó phát triển thêm công thức cho tan và cot.
Phép tính lượng giác hai cung bù nhau cho sin: sin(π – x) = sin(x)
Ví dụ: sin(π – π/6) = sin(π/6)
Phép tính lượng giác hai cung bù nhau cho cos: cos(π – x) = -cos(x)
Ví dụ: cos(π – π/4) = -cos(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung bù nhau cho tan: tan(π – x) = -cos(x)
Ví dụ: tan(π – π/4) = -tan(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung bù nhau cho cot: cot(π – x) = -cot(x)
Ví dụ: cot(π – π/4) = -cot(π/4)
Công thức lượng giác hai cung phụ nhau
Phép tính lượng giác hai cung phụ nhau áp dụng cho hai góc có tổng bằng 90 độ (hoặc π/2 radian). Có bốn phép tính lượng giác hai cung phụ nhau như sau.
Phép tính lượng giác hai cung phụ nhau cho sin: sin(π/2 – x) = cos(x)
Ví dụ: sin(π/2 – π/4) = cos(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung phụ nhau cho cos: cos(π/2 – x) = sin(x)
Ví dụ: cos(π/2 – π/4) = sin(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung phụ nhau cho tan: tan(π/2 – x) = cot(x)
Ví dụ: tan(π/2 – π/4) = cot(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung phụ nhau cho cot: cot(π/2 – x) = tan(x)
Ví dụ: cot(π/2 – π/4) = tan(π/4)
Công thức lượng giác hai cung hơn kém π
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π (hay 180 độ) áp dụng cho các góc có hiệu của chúng bằng π. Có hai phép tính lượng giác hai cung hơn kém π chính:
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π cho sin: sin(π + x) = -sin(x)
Ví dụ: sin(π + π/6) = -sin(π/6)
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π cho cos: cos(π + x) = -cos(x)
Ví dụ: cos(π + π/6) = -cos(π/6)
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π cho sin: tan(π + x) = tan(x)
Ví dụ: sin(π + π/6) = tan(π/6)
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π cho cos: cot(π + x) = cot(x)
Ví dụ: cos(π + π/6) = cot(π/6)
Công thức lượng giác cung hơn kém π/2
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π/2 (hay 90 độ) áp dụng cho các góc có hiệu của chúng bằng π/2. Có hai phép tính lượng giác hai cung hơn kém π/2 chính:
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π/2 cho sin: sin(π/2 + x) = cos(x)
Ví dụ: sin(π/2 + π/4) = cos(π/4)
Phép tính lượng giác hai cung hơn kém π/2 cho cos: cos(π/2 + x) = -sin(x)
Ví dụ: cos(π/2 + π/3) = -sin(π/3)
Công thức hạ bậc
Công thức hạ bậc được dùng để giảm bậc của các biểu thức lượng giác, đưa chúng về bậc 1, rất hữu ích khi giải phương trình và tính tích phân.
- sin²(a) = (1 – cos(2a)) / 2
- cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
- tan²(a) = (1 – cos(2a)) / (1 + cos(2a))
Công thức nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
Đây là phần kiến thức không thể thiếu khi học lượng giác, giúp bạn giải quyết các bài toán tìm x.
a. Phương trình cơ bản
- sin(x) = sin(a) <=> [x = a + k2π] hoặc [x = π – a + k2π]
- cos(x) = cos(a) <=> [x = a + k2π] hoặc [x = -a + k2π]
- tan(x) = tan(a) <=> x = a + kπ
- cot(x) = cot(a) <=> x = a + kπ
(với k là số nguyên)
b. Các trường hợp đặc biệt
- sin(x) = 1 <=> x = π/2 + k2π
- sin(x) = -1 <=> x = -π/2 + k2π
- sin(x) = 0 <=> x = kπ
- cos(x) = 1 <=> x = k2π
- cos(x) = -1 <=> x = π + k2π
- cos(x) = 0 <=> x = π/2 + kπ
Ứng dụng của lượng giác trong thực tế
Không chỉ là công cụ học thuật, công thức lượng giác còn có ứng dụng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống:
- Vật lý: Mô tả các hiện tượng sóng, dao động cơ, dòng điện xoay chiều.
- Kỹ thuật & Xây dựng: Tính toán kết cấu, góc, lực trong các công trình, thiết kế cơ khí.
- Thiên văn học: Đo khoảng cách giữa các hành tinh và thiên thể.
- Công nghệ thông tin: Xử lý đồ họa máy tính, nén ảnh (JPEG), xử lý tín hiệu số.
- Địa lý và hàng hải: Xác định vị trí trên bản đồ, định vị GPS.
Mẹo ghi nhớ công thức lượng giác bằng thơ
Để ghi nhớ các công thức “khó nhằn”, bạn có thể học thuộc các câu thơ và quy tắc sau đây:
Giá trị lượng giác cơ bản:
“Sin đi học (sin = Đối/Huyền), Cos không hư (cos = Kề/Huyền), Tan đoàn kết (tan = Đối/Kề), Cot kết đoàn (cot = Kề/Đối).”
Công thức cộng:
“Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin dấu trừ.
Tan tổng thì lấy tổng tan
Chia một trừ với tích tan, dễ mà.”
Cung liên quan:
“Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Hơn kém Pi Tan Cot.” (Cos của góc đối thì bằng nhau, Sin của góc bù thì bằng nhau, hai góc phụ nhau thì Sin góc này = Cos góc kia, Tan góc này = Cot góc kia…).
Biến đổi tổng thành tích:
“Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin.”
Có những vấn đề cần lưu ý khi sử dụng bảng công thức lượng giác đầy đủ không?
Khi sử dụng bảng phép tính lượng giác đầy đủ, để đảm bảo tính chính xác và hiệu quả thì có một số vấn đề cần lưu ý như sau:
- Đọc và hiểu công thức: Trước khi áp dụng công thức, hãy đọc kỹ và hiểu ý nghĩa của từng công thức trong bảng lượng giác đầy đủ. Điều này giúp bạn áp dụng công thức chính xác và tránh sai sót do những nhận định thiếu thông tin.
- Xác định đơn vị góc: Kiểm tra xem bảng lượng giác sử dụng đơn vị góc nào. Thông thường, góc được đo bằng radian trong các công thức lượng giác. Nếu bạn có các giá trị góc được đo bằng độ, trước khi sử dụng công thức hãy chuyển đổi chúng sang radian.
- Kiểm tra giới hạn áp dụng: Hãy chú ý kiểm tra xem liệu các công thức mà bạn đang giữ có giới hạn áp dụng hay không. Trong nhiều trường hợp tính toán, chỉ có những phạm vi cụ thể của góc mới áp dụng được một số công thức cụ thể, ví dụ như các phép tính lượng giác ngược.
- Chọn công thức phù hợp: Có nhiều công thức khác nhau trong bảng phép tính lượng giác, do đó hãy đọc kỹ yêu cầu của bài toán để lựa chọn được công thức phù hợp, tránh mất thời gian khi phải làm đi làm lại do áp dụng sai công thức.
- Kiểm tra kết quả: Khi áp dụng công thức và ra được kết quả, đừng vội nộp bài ngay mà hãy dùng máy tính hoặc bảng lượng giác để so sánh kết quả của bạn và đảm bảo rằng nó nhất quán với dự đoán hoặc kết quả trước đó.
Tạm kết
Bảng công thức lượng giác mà Hoàng Hà Mobile đã tổng hợp trong bài viết này không chỉ là một tài liệu học thuật, mà còn là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực ứng dụng. Từ vật lý và kỹ thuật đến công nghệ thông tin và nghệ thuật đồ họa, phép tính lượng giác được tích hợp rộng rãi trong các lĩnh vực này, giúp giải quyết nhiều vấn đề phức tạp liên quan đến hình học không gian.
XEM THÊM:
