Công thức lượng giác là tập hợp các đẳng thức liên hệ giữa sin, cos, tan, cot của một góc (cung), gồm 7 nhóm chính: công thức cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi và nhân ba, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, biến đổi tích thành tổng và công thức các cung liên quan. Đây là kiến thức trọng tâm của chương lượng giác lớp 10, lớp 11 và được dùng tiếp khi học đạo hàm, tích phân ở lớp 12. Bài viết tổng hợp bảng công thức lượng giác đầy đủ dưới dạng bảng tra, có ví dụ giải mẫu và mẹo nhớ bằng thơ.
Tóm tắt nhanh:
- Công thức gốc: sin²x + cos²x = 1; tan x = sin x / cos x; cot x = cos x / sin x; tan x · cot x = 1.
- Công thức cộng: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b; cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b.
- Nhân đôi, hạ bậc: sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = 1 − 2sin²x; sin²x = (1 − cos 2x)/2.
- Cung liên quan: nhớ câu “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan cot”.
Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì?
Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn x là tỉ số giữa độ dài hai cạnh của tam giác. Có 4 tỉ số lượng giác cơ bản:
| Tỉ số | Định nghĩa | Mẹo nhớ |
|---|---|---|
| sin x | Cạnh đối / cạnh huyền | Sin đi học |
| cos x | Cạnh kề / cạnh huyền | Cos không hư |
| tan x | Cạnh đối / cạnh kề | Tan đoàn kết |
| cot x | Cạnh kề / cạnh đối | Cot kết đoàn |
Ví dụ: tam giác vuông có cạnh đối 3, cạnh kề 4, cạnh huyền 5 thì sin x = 3/5, cos x = 4/5, tan x = 3/4, cot x = 4/3. Nếu bạn mới làm quen với khái niệm, hãy đọc thêm bài sin, cos, tan là gì.
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Đây là các giá trị cần thuộc lòng vì xuất hiện trong hầu hết bài tập.
| Góc | 0° | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | Không xác định | 0 |
| cot | Không xác định | √3 | 1 | √3/3 | 0 | Không xác định |
Bảng đầy đủ với nhiều góc hơn có trong bài bảng giá trị lượng giác.
Công thức lượng giác cơ bản
| Công thức | Điều kiện |
|---|---|
| sin²x + cos²x = 1 | Mọi x |
| tan x = sin x / cos x | cos x ≠ 0 |
| cot x = cos x / sin x | sin x ≠ 0 |
| tan x · cot x = 1 | sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 |
| 1 + tan²x = 1 / cos²x | cos x ≠ 0 |
| 1 + cot²x = 1 / sin²x | sin x ≠ 0 |
Giá trị của sin và cos luôn nằm trong đoạn [−1; 1], còn tan và cot có thể nhận mọi giá trị thực.
Công thức cộng lượng giác
| Công thức |
|---|
| sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b |
| sin(a − b) = sin a · cos b − cos a · sin b |
| cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b |
| cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b |
| tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a · tan b) |
| tan(a − b) = (tan a − tan b) / (1 + tan a · tan b) |
Lưu ý dấu: với cos, dấu ở vế phải ngược với dấu ở vế trái; với sin, dấu giữ nguyên.
Công thức nhân đôi và nhân ba
| Nhóm | Công thức |
|---|---|
| Nhân đôi | sin 2x = 2 sin x · cos x |
| cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x | |
| tan 2x = 2 tan x / (1 − tan²x) | |
| Nhân ba | sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x |
| cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x | |
| tan 3x = (3 tan x − tan³x) / (1 − 3tan²x) |
Công thức hạ bậc
Công thức hạ bậc dùng để đưa sin², cos² về bậc nhất của góc nhân đôi, rất hay dùng khi giải phương trình và tính tích phân.
| Công thức |
|---|
| sin²x = (1 − cos 2x) / 2 |
| cos²x = (1 + cos 2x) / 2 |
| tan²x = (1 − cos 2x) / (1 + cos 2x) |
| sin³x = (3 sin x − sin 3x) / 4 |
| cos³x = (3 cos x + cos 3x) / 4 |
Công thức biến đổi tổng thành tích
| Công thức |
|---|
| cos a + cos b = 2 cos((a + b)/2) · cos((a − b)/2) |
| cos a − cos b = −2 sin((a + b)/2) · sin((a − b)/2) |
| sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) · cos((a − b)/2) |
| sin a − sin b = 2 cos((a + b)/2) · sin((a − b)/2) |
Công thức biến đổi tích thành tổng
| Công thức |
|---|
| cos a · cos b = ½[cos(a + b) + cos(a − b)] |
| sin a · sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)] |
| sin a · cos b = ½[sin(a + b) + sin(a − b)] |
Công thức lượng giác của các cung liên quan
Các công thức dưới đây giúp đưa giá trị lượng giác của một góc bất kỳ về góc nhọn quen thuộc.
| Quan hệ | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|
| Cung đối nhau (x và −x) | sin(−x) = −sin x | cos(−x) = cos x | tan(−x) = −tan x | cot(−x) = −cot x |
| Cung bù nhau (x và π − x) | sin(π − x) = sin x | cos(π − x) = −cos x | tan(π − x) = −tan x | cot(π − x) = −cot x |
| Cung phụ nhau (x và π/2 − x) | sin(π/2 − x) = cos x | cos(π/2 − x) = sin x | tan(π/2 − x) = cot x | cot(π/2 − x) = tan x |
| Hơn kém π (x và π + x) | sin(π + x) = −sin x | cos(π + x) = −cos x | tan(π + x) = tan x | cot(π + x) = cot x |
| Hơn kém π/2 (x và π/2 + x) | sin(π/2 + x) = cos x | cos(π/2 + x) = −sin x | tan(π/2 + x) = −cot x | cot(π/2 + x) = −tan x |
Ví dụ: sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2; cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2; tan 210° = tan(180° + 30°) = tan 30° = √3/3.
Công thức tính theo t = tan(x/2)
Khi đặt t = tan(x/2) (với cos(x/2) ≠ 0), có thể biểu diễn sin x, cos x, tan x theo t. Cách đặt này hay dùng để đưa phương trình về dạng đại số:
- sin x = 2t / (1 + t²)
- cos x = (1 − t²) / (1 + t²)
- tan x = 2t / (1 − t²), với t² ≠ 1
Công thức nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
| Phương trình | Nghiệm (k ∈ ℤ) |
|---|---|
| sin x = sin a | x = a + k2π hoặc x = π − a + k2π |
| cos x = cos a | x = a + k2π hoặc x = −a + k2π |
| tan x = tan a | x = a + kπ |
| cot x = cot a | x = a + kπ |
| sin x = 0; sin x = 1; sin x = −1 | x = kπ; x = π/2 + k2π; x = −π/2 + k2π |
| cos x = 0; cos x = 1; cos x = −1 | x = π/2 + kπ; x = k2π; x = π + k2π |
Cách giải từng dạng và ví dụ chi tiết có trong bài phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ áp dụng công thức lượng giác có lời giải
Ví dụ 1: Tính cos 75°.
- cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 ≈ 0,2588.
Ví dụ 2: Tính tan 15°.
- tan 15° = tan(45° − 30°) = (1 − √3/3) / (1 + √3/3) = (3 − √3) / (3 + √3) = 2 − √3 ≈ 0,2679.
Ví dụ 3: Cho sin x = 3/5 với 0 < x < π/2. Tính cos x, sin 2x, cos 2x.
- cos²x = 1 − 9/25 = 16/25, x thuộc góc phần tư thứ nhất nên cos x = 4/5.
- sin 2x = 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25.
- cos 2x = 1 − 2 · (9/25) = 7/25.
Ví dụ 4: Rút gọn A = sin(π − x) + cos(π/2 − x) + sin(π + x).
- A = sin x + sin x − sin x = sin x.
Mẹo ghi nhớ công thức lượng giác bằng thơ
Tỉ số lượng giác: “Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn” (sin = đối/huyền, cos = kề/huyền, tan = đối/kề, cot = kề/đối).
Công thức cộng:
“Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin dấu trừ
Tan tổng thì lấy tổng tan
Chia một trừ với tích tan, dễ mà.”
Cung liên quan: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan cot”: hai cung đối có cos bằng nhau, hai cung bù có sin bằng nhau, hai cung phụ thì sin cung này bằng cos cung kia, hai cung hơn kém π có tan và cot bằng nhau.
Tổng thành tích:
“Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin.”
Ứng dụng của lượng giác trong thực tế
- Đo đạc: tính chiều cao tòa nhà, độ sâu, khoảng cách khi biết một cạnh và góc nhìn.
- Vật lý: mô tả dao động điều hòa, sóng, dòng điện xoay chiều bằng hàm sin, cos.
- Kỹ thuật, xây dựng: tính lực, độ dốc, góc nghiêng của kết cấu.
- Hàng không, hàng hải: xác định góc cất cánh, hướng đi, định vị.
- Công nghệ: xử lý tín hiệu số, nén ảnh, đồ họa máy tính.
Ví dụ với hình máy bay: sin θ = 40.000 / 100.000 = 0,4 nên θ ≈ 23,6°. Trong tam giác thường, bạn dùng thêm định lý cosin để tính cạnh và góc.
Lưu ý khi sử dụng bảng công thức lượng giác
- Đơn vị góc: các công thức nghiệm viết theo radian (π), không trộn độ và radian trong cùng một nghiệm.
- Điều kiện xác định: tan cần cos x ≠ 0, cot cần sin x ≠ 0; luôn kiểm tra trước khi biến đổi.
- Dấu theo góc phần tư: khi suy cos từ sin (hoặc ngược lại) phải xét góc thuộc góc phần tư nào để chọn dấu.
- Kiểm tra bằng máy tính: thay một giá trị góc cụ thể vào hai vế để kiểm tra công thức vừa biến đổi.
Với dạng bài khảo sát hàm số lượng giác, bạn có thể ôn thêm tính đơn điệu của hàm số. Ở phần hình học, các hệ thức lượng giác cũng hay dùng khi chứng minh tứ giác nội tiếp.
Câu hỏi thường gặp về công thức lượng giác
Công thức lượng giác cơ bản nhất là gì?
Công thức cơ bản nhất là sin²x + cos²x = 1, kèm theo tan x = sin x / cos x và cot x = cos x / sin x.
Công thức lượng giác học ở lớp mấy?
Theo chương trình mới, tỉ số lượng giác của góc nhọn học ở lớp 9, giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180° học ở lớp 10, còn các công thức cộng, nhân đôi, biến đổi và phương trình lượng giác học ở lớp 11.
Công thức nhân đôi của cos là gì?
cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x.
Cách nhớ công thức cung liên quan nhanh nhất?
Nhớ câu “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan cot”, rồi suy ra dấu của các hàm còn lại theo góc phần tư.
tan(π − x) bằng bao nhiêu?
tan(π − x) = −tan x, vì hai cung bù nhau có sin bằng nhau còn cos đối nhau.
Có cần học thuộc công thức biến đổi tích thành tổng không?
Nên nhớ, nhưng có thể tự suy ra nhanh bằng cách cộng hoặc trừ hai công thức cộng, ví dụ cộng cos(a + b) và cos(a − b) được 2cos a cos b.
Kết luận
Bảng công thức lượng giác gồm các nhóm cơ bản, cộng, nhân đôi, nhân ba, hạ bậc, biến đổi tổng – tích và cung liên quan. Hãy nắm chắc công thức gốc sin²x + cos²x = 1 và công thức cộng, vì phần lớn công thức còn lại đều suy ra từ đây. Kết hợp bảng giá trị góc đặc biệt, mẹo nhớ bằng thơ và luyện các ví dụ trong bài, bạn sẽ giải nhanh các dạng bài lượng giác từ lớp 10 đến lớp 12.
